第一章 实数及其上的映射 1
1 无理数与微积分危机 1
1.1 自然数与有理数 1
1.2 无理数和微积分的危机 2
练习题1—1 5
2 一维连续统——实数 5
2.1 数的连续性 5
2.2 实数集的界与确界 7
2.3 连通实数集合及其表示 9
练习题1—2 9
3 实数集上的映射 10
3.1 映射 10
3.2 单元函数——实数到实数的映射 11
3.3 用四则运算和映射积构造新函数 12
3.4 反函数 12
3.5 函数的图像 14
3.6 基元函数和初等函数 18
3.7 隐式方程、参数和极坐标表示的函数 22
练习题1—3 26
复习题一 27
第二章 极限 30
1 离散变量的极限 30
1.1 以正整数为定义域的函数——序列 30
1.2 无穷小量 31
1.3 序列的极限 34
1.4 无穷大量 38
1.5 夹逼收敛 39
1.6 单调有界序列的收敛性 40
1.7 超越数e 41
1.8 nl与Euler常数C 42
1.9 重要序列极限例举 44
1.10 无穷小、无穷大的比较与级 46
1.11 子序列与上、下极限 48
练习题2—1 50
2 连续变量的极限 52
2.1 实数上的函数极限 52
2.2 连续变量极限的离散描述 56
2.3 函数极限的运算法则和收敛判定准则 57
2.4 几类基本的函数极限 60
练习题2—2 68
3 函数的连续与间断 69
3.1 函数的连续与间断 69
3.2 初等函数的连续性 72
3.3 闭区间上连续函数的性质 74
练习题2—3 77
复习题二 77
第三章 微分法 80
1 变化率及其计算 80
1.1 导数 80
1.2 初等函数的求导法 83
1.3 由参数方程或二元方程所确定的隐函数的求导 87
1.4 高阶导数 88
1.5 微分——函数局部平直化 91
练习题3—1 95
2 微分学基本定理及应用 97
2.1 微分学基本定理 97
2.2 不定型极限 100
2.3 函数的多项式局部拟合——泰勒公式 105
2.4 函数的几何形态分析 114
练习题3—2 122
复习题三 124
第四章 积分法 127
1 积分的定义和性质 127
1.1 非匀变过程和非规则形体的计算 127
1.2 定积分的定义和性质 129
练习题4—1 131
2 函数的可积性 132
2.1 可积性基本定理 132
2.2 函数的可积性 133
练习题4—2 136
3 牛顿-莱布尼茨公式 137
练习题4—3 139
4 原函数的寻求 140
4.1 不定积分的基本公式与运算法则 140
4.2 换元积分法 142
4.3 分部积分法 147
4.4 有理函数的积分法 148
4.5 若干类无理函数的积分法 151
练习题4—4 157
5 定积分的计算与应用 158
5.1 定积分的换元与分部积分公式 158
5.2 积分微元 161
5.3 面积、弧长、体积 162
5.4 质心、转动惯量和功 168
练习题4—5 171
6 数值积分 173
6.1 矩形公式和梯形公式 174
6.2 辛普森(slmpson T)公式 175
6.3 龙贝格(Romberg W)外推公式 176
练习题4—6 177
7 反常积分 177
7.1 无穷积分 178
7.2 瑕积分 184
练习题4—7 188
复习题四 188
第五章 动力机制的数学模型——微分方程 191
1 物理过程的定量描述 191
1.1 质点的弹性振动 192
1.2 RL.C电路 193
1.3 冷却与衰变 194
1.4 人口增长 195
1.5 溶液淡化 196
1.6 二体运动(行星绕日运动) 197
练习题5—1 199
2 微分方程的基本概念 199
2.1 微分方程 199
2.2 微分方程的解 200
2.3 微分方程定解问题 201
2.4 微分方程的方向场 203
练习题5—2 206
3 一阶方程 206
3.1 变量分离型方程 207
3.2 齐次型方程 210
3.3 线性方程与伯努利(Bernoulii)方程 213
3.4 里卡蒂(Riccati J E)方程 214
3.5 用迭代法求近似解析解 216
3.6 正交轨线 217
练习题5—3 218
4 二阶方程 219
4.1 二阶线性方程 219
4.2 常数变异公式——线性系统输入输出转换机制的解析表示 223
4.3 常系数线性方程(齐次) 226
4.4 常系数线性方程(非齐次) 227
4.5 RLC电路 230
4.6 可降阶与可积二阶方程 233
练习题5—4 237
5 微分方程组 237
练习题5—5 240
复习题五 241
第六章 微积分学的基础原理 243
1 实数——微积分学的逻辑基础 243
练习题6—1 245
2 实数完备性的等价表述 245
练习题6—2 251
3 实数集的列紧性与紧性 251
练习题6—3 253
4 闭区间上的连续映射 254
练习题6—4 257
5 Riemann可积性基本定理 258
练习题6—5 262
复习题六 262
附 练习题与复习题答案 263