第一章 集论初步 1
1.集的概念.集上的运算 1
1.基本定义 1
2.集上的运算 1
2.映射.分类 3
1.集的映射.函数的一般概念 3
2.分类.等价关系 5
3.集的对等性.集的势的概念 7
1.有限集与无限集 7
2.可数集 8
3.集的对等性 9
4.实数集的不可数性 11
5.康托尔-伯恩斯坦（Cantor-Bernstein）定理 12
6.集的势的概念 12
4.有序集.超限数 14
1.偏序集 14
2.保序映射 15
3.序型.有序集 15
4.有序集的有序和 16
5.良序集.超限数 16
6.序数的比较 17
7.选择公理.策梅洛定理及与其等价的其他命题 19
8.超限归纳法 20
5.集族 21
1.集环 21
2.集半环 22
3.半环生成的环 23
4.σ代数 24
5.集族与映射 25
第二章 度量空间与拓扑空间 26
1.度量空间的概念 26
1.定义与基本例子 26
2.度量空间的连续映射.等距 32
2.收敛性.开集与闭集 33
1.极限点.闭包 33
2.收敛性 34
3.稠密子集 35
4.开集与闭集 35
5.直线上的开集与闭集 36
3.完备度量空间 40
1.完备度量空间的定义与例子 40
2.球套定理 42
3.贝尔（Baire）定理 43
4.空间的完备化 43
4.压缩映射原理及其应用 45
1.压缩映射原理 45
2.压缩映射原理最简单的一些应用 46
3.微分方程的存在性与唯一性定理 49
4.压缩映射原理应用于积分方程 51
5.拓扑空间 53
1.拓扑空间的定义与例子 53
2.拓扑的比较 55
3.确定邻域族.基.可数性公理 55
4.T中的收敛序列 58
5.连续映射.同胚 58
6.分离性公理 60
7.在空间中给定拓扑的不同方法.可度量性 62
6.紧性 63
1.紧性概念 63
2.紧空间的连续映射 65
3.在紧空间上的连续函数与半连续函数 65
4.可数紧性 67
5.准紧集 68
7.度量空间的紧性 68
1.完全有界性 68
2.紧性与完全有界性 70
3.度量空间中的准紧子集 71
4.阿尔采拉（Arzelà）定理 71
5.佩亚诺（Peano）定理 73
6.一致连续性.度量紧统的连续映射 75
7.拓广的阿尔采拉定理 75
8.度量空间中的连续曲线 76
第三章 赋范线性空间与线性拓扑空间 81
1.线性空间 81
1.线性空间的定义及例子 81
2.线性相关性 83
3.子空间 84
4.商空间 84
5.线性泛函 85
6.线性泛函的几何意义 87
2.凸集与凸泛函.哈恩-巴拿赫（Hahn-Banach）定理 88
1.凸集与凸体 88
2.齐次凸泛函 90
3.闵可夫斯基泛函 91
4.哈恩-巴拿赫定理 93
5.线性空间中凸集的可分离性 96
3.赋范空间 97
1.赋范空间的定义与例子 97
2.赋范空间的子空间 99
3.赋范空间的商空间 99
4.欧几里得空间 101
1.欧几里得空间的定义 101
2.例子 102
3.正交基的存在性，正交化 104
4.贝塞耳（Bessel）不等式.封闭正交系 106
5.完备的欧几里得空间.里斯-费希尔（Riesz-Fisher）定理 109
6.希尔伯特空间.同构定理 111
7.子空间.正交补.直和 114
8.欧几里得空间的特性 117
9.复欧几里得空间 119
5.线性拓扑空间 122
1.定义与例子 122
2.局部凸性 124
3.可数赋范空间 124
第四章 线性泛函与线性算子 127
1.线性连续泛函 127
1.线性拓扑空间中的线性连续泛函 127
2.赋范空间上的线性泛函 128
3.赋范空间中的哈恩-巴拿赫定理 131
4.在可数赋范空间中的线性泛函 133
2.共轭空间 134
1.共轭空间的定义 134
2.共轭空间中的强拓扑 134
3.共轭空间的例子 136
4.二次共轭空间 141
3.弱拓扑与弱收敛 143
1.在线性拓扑空间中的弱拓扑与弱收敛 143
2.赋范空间中的弱收敛 144
3.共轭空间中的弱拓扑与弱收敛 147
4.共轭空间中的有界集 148
4.广义函数 151
1.函数概念的推广 151
2.基本函数空间 152
3.广义函数 153
4.广义函数的运算 154
5.基本函数范围的充足性 156
6.按导数求函数.广义函数类中的微分方程 157
7.某些推广 159
5.线性算子 162
1.线性算子的定义与例 162
2.连续性与有界性 165
3.算子的和与积 167
4.逆算子，可逆性 168
5.共轭算子 173
6.欧几里得空间中的共轭算子.自共轭算子 175
7.算子的谱.预解式 176
6.紧算子 178
1.紧算子的定义与例 178
2.紧算子的基本性质 182
3.紧算子的特征值 184
4.希尔伯特空间中的紧算子 185
5.H中的自共轭紧算子 186
第五章 测度，可测函数，积分 190
1.平面集的测度 190
1.初等集的测度 190
2.平面集的勒贝格（Lebesgue）测度 194
3.若干补充与推广 200
2.一般测度概念.测度从半环到环上的扩张.加性和σ加性 202
1.测度的定义 202
2.从半环到其所生成的环的测度扩张 203
3.σ加性 205
3.测度的勒贝格扩张 208
1.给定在一个含有单位集的半环上的测度的勒贝格扩张 208
2.给定在不含单位集的半环上的测度扩张 210
3.在σ有限测度的情形下可测性概念的扩充 212
4.按约当（Jordan）意义的测度扩张 214
5.测度扩张的单值性 216
4.可测函数 217
1.可测函数的定义及其基本性质 217
2.可测函数的运算 218
3.等价性 220
4.几乎处处收敛性 221
5.叶果洛夫（Егоров）定理 221
6.按测度收敛 222
7.鲁金（Лузии）定理.C性质 225
5.勒贝格积分 225
1.简单函数 226
2.简单函数的勒贝格积分 226
3.具有有限测度的集上的勒贝格积分的一般定义 228
4.σ加性和勒贝格积分的绝对连续性 230
5.勒贝格积分号下取极限 234
6.无穷测度集上的勒贝格积分 237
7.勒贝格积分同黎曼积分之比较 238
6.集族及其测度的直积.富比尼（Fubini）定理 241
1.集族的乘积 241
2.测度积 242
3.用截线的线性测度之积分表示平面测度之表达式.勒贝格积分的几何意义 244
4.富比尼定理 247
第六章 勒贝格不定积分.微分论 250
1.单调函数.积分对上限的可微性 251
1.单调函数的基本性质 251
2.单调函数的可微性 253
3.积分对上限求导数 259
2.有界变差函数 260
3.勒贝格不定积分的导数 264
4.用函数的导数求原函数.绝对连续函数 266
5.作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆（Radon-Nikod？m）定理 274
1.荷·哈恩分解和约当分解 274
2.荷的基本类型 276
3.绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理 277
6.斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分 279
1.斯蒂尔切斯测度 279
2.勒贝格-斯蒂尔切斯积分 281
3.勒贝格-斯蒂尔切斯积分在概率论中的某些应用 282
4.黎曼-斯蒂尔切斯（Riemann-Stieltjes）积分 284
5.斯蒂尔切斯积分号下取极限 287
6.连续函数空间中线性连续泛函的一般形式 289
第七章 可和函数空间 294
1.空间L1 294
1.空间L1的定义与基本性质 294
2.L1中处处稠密的集合 296
2.空间L2 299
1.定义与基本性质 299
2.无穷测度的情形 301
3.在L2中处处稠密的集合.同构定理 303
4.复空间L2 304
5.均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系 304
3.L2中的正交函数系.按正交系展开的级数 306
1.三角函数系.傅里叶三角级数 306
2.在闭区间［0，π］上的三角函数系 308
3.复形式的傅里叶级数 309
4.勒让德（Legendre）多项式 310
5.乘积正交系.多重傅里叶级数 312
6.关于给定权正交的多项式 314
7.空间L2（-∞，∞）与L2（0，∞）中的正交基 315
8.关于离散权的正交多项式 316
9.哈尔（Haar）系与拉德马赫-沃尔什（Rademacher-Walsh）系 318
第八章 三角级数.傅里叶变换 321
1.傅里叶级数收敛的条件 321
1.傅里叶级数在一点收敛的充分条件 321
2.傅里叶级数一致收敛的条件 326
2.费耶（Fejér）定理 328
1.费耶定理 328
2.三角函数系的完备性.魏斯特拉斯定理 331
3.空间L1中的费耶定理 332
3.傅里叶积分 332
1.基本定理 332
2.复形式的傅里叶积分 334
4.傅里叶变换，它的性质与应用 335
1.傅里叶变换与反演公式 335
2.傅里叶变换的基本性质 338
3.埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性 340
4.快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换 341
5.傅里叶变换与函数的卷积 342
6.用傅里叶变换解热传导方程 343
7.多元函数的傅里叶变换 344
5.空间L2（-∞，∞）中的傅里叶变换 347
1.布兰舍列尔（Planchler）定理 347
2.埃尔米特函数 349
6.拉普拉斯（Laplace）变换 352
1.拉普拉斯变换的定义与基本性质 352
2.拉普拉斯变换对解微分方程的应用（算子法） 353
7.傅里叶-斯蒂尔切斯变换 354
1.傅里叶-斯蒂尔切斯变换的定义 354
2.傅里叶-斯蒂尔切斯变换在概率论中的应用 356
8.广义函数的傅里叶变换 358
第九章 线性积分方程 361
1.基本定义.导致积分方程的某些问题 361
1.积分方程的类型 361
2.导致积分方程的问题的一些例子 362
2.弗雷德霍姆积分方程 364
1.弗雷德霍姆积分算子 364
2.含对称核的方程 367
3.弗雷德霍姆定理.退化核情形 368
4.含任意核的方程的弗雷德霍姆定理 370
5.沃尔泰拉方程 374
6.第一类积分方程 374
3.含参数的积分方程.弗雷德霍姆法 375
1.H里紧算子的谱 375
2.以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式 376
第十章 线性空间微分学概要 381
1.线性空间中的微分法 381
1.强微分（弗雷歇（Fréchet）微分） 381
2.弱微分（伽托（G？teaux）微分） 383
3.有限增量公式 383
4.弱可微性与强可微性之间的关系 384
5.可微分泛函 385
6.抽象函数 385
7.积分 386
8.高阶导数 387
9.高阶微分 390
10.泰勒（Taylor）公式 390
2.隐函数定理及其某些应用 391
1.隐函数定理 391
2.微分方程解对初始数据的依赖性定理 394
3.切流形.刘斯切尔尼克（Люстерник）定理 395
3.极值问题 397
1.极值的必要条件 397
2.二阶微分.泛函极值的充分条件 401
3.有约束的极值问题 403
4.牛顿（Newton）法 404
附录 巴拿赫代数（B.M.季霍米洛夫） 409
1.巴拿赫代数的定义与一些例子 409
1.巴拿赫代数，巴拿赫代数的同构 409
2.巴拿赫代数的一些例子 410
3.极大理想 412
2.谱和预解式 412
1.定义与例子 413
2.谱的性质 413
3.谱半径定理 415
3.几个辅助结果 416
1.商代数定理 416
2.三个引理 417
4.基本定理 417
1.线性连续可乘泛函与极大理想 417
2.集？中的拓扑.基本定理 419
3.维纳（Wiener）定理；习题 421
文献 425
各章的有关文献 429
索引 430
译者后记 451