目录 1
第一章 活动标架法 1
§1 幺正标架 1
1.1 幺正标架 1
1.2 幺正标架的运动方程 4
§2 外微分形式 7
2.1 外代数 7
2.2 外微分形式 11
2.3 外微分 13
2.4 微分形式的积分 15
§3 可积系统 19
3.1 E3的结构方程 19
3.2 Frobenius定理 19
3.3 用活动标架法研究曲面 22
3.3.1 第一和第二基本形式 23
3.3.2 主曲率、Gauss曲率和平均曲率 26
3.3.3 曲面论基本定理 28
第二章 曲线的整体微分几何 33
§1 平面曲线的某些整体性质 33
1.1 等周不等式 33
1.2 曲线的旋转指标 37
1.2.1 映射的度数 37
1.2.2 旋转指标定理 41
1.3 凸闭曲线 44
§2 空间曲线的某些整体性质 49
2.1 球面上的Crofton公式 50
2.2 空间曲线的全曲率 53
2.3 空间曲线的全挠率 58
1.1 曲面的整体描述 67
§1 曲面的Gauss-Bonnet公式 67
第三章 E3中曲面的整体微分几何 67
1.2 Gauss-Bonnet公式 72
§2 Liebmann定理 78
2.1 球面的刚性 78
2.2 两个引理 79
2.3 Liebmann定理的证明 82
§3 凸曲面和积分公式 85
3.1 凸曲面的Hadamard定理 85
3.2 Cohn-Vossen定理 87
3.3 Minkowski积分公式 90
§4 Minkowski问题和Christoffel问题的唯一性 92
4.1 概述 92
4.2 基本公式 93
4.3 Minkowski问题的唯一性 94
4.4 Christoffel问题的唯一性 97
§5 全平均曲率与Willmore猜想 99
5.1 全平均曲率 99
5.2 球面的一个特征 102
5.3 环面的全平均曲率 104
§6 常负曲率曲面和B？cklund变换 107
6.1 常负曲率曲面和SG方程 107
6.2 伪球线汇和焦曲面 110
6.3 B？cklund变换 113
§7 Hilbert定理 117
7.1 负曲率曲面上的渐近线网 118
7.2 常负曲率完备曲面上的整体渐近线网 120
7.3 定理的证明 124
§8 Hartman-Nirenberg定理 125
8.1 预备引理 125
8.2 定理的证明 130
§9 极小曲面的Bernstein定理 132
9.1 共变微分和Laplacian△ 133
9.2 关于Gauss曲率的计算 137
9.3 极小图的Gauss曲率计算 138
9.4 Bernstein定理的证明 139
§10 常平均曲率曲面 142
10.1 面积的变分 142
10.2 保体积的变分 144
10.3 Hopf定理 148
第四章 曲面的内蕴几何学 153
§1 曲面上的向量场 153
1.1 曲面上的向量场 153
1.2 曲面上向量场的平行移动 155
1.3 向量场的奇点 157
1.4 抽象曲面上的向量场 162
2.1 测地线 166
§2 测地线与完备曲面 166
2.2 指数映射exp 168
2.3 测地线的最短性 168
2.4 完备性 174
§3 弧长的第一变分 177
3.1 曲线的变分 177
3.2 第一变分公式 178
3.3 第一变分公式的应用 180
§4 弧长的第二变分及Jacobi场 181
4.1 弧长的第二变分公式 181
4.2 Jacobi场 184
4.3 共轭点 187
§5 曲率与拓扑 189
5.1 曲率与Jacobi场 189
5.2 Gauss曲率非正的曲面 192
6.1 闭测地线与基本群 194
§6 闭测地线与基本群 194
6.2 覆盖空间与闭测地线 196
6.3 紧致闭曲面上的闭测地线 199
第五章 高维欧氏空间的超曲面 201
§1 基本公式 201
1.1 超曲面的结构方程和曲率张量 201
1.2 主曲率与平均曲率 204
§2 积分公式 206
2.1 Minkowski积分公式 206
2.2 紧致凸超曲面 208
§3 球面的刚性定理 209
3.1 非负Ricci曲率的紧致超曲面 209
3.2 常数数量曲率的紧致超曲面 211
§4 极小超曲面的Bernstein型定理 215
4.1 关于第二基本形式的一个估计 215
4.2 稳定性不等式 217
4.3 Bernstein定理的推广 219
4.4 定理4.4的另一证明 223
§5 常平均曲率的完备超曲面 227
5.1 常平均曲率图 227
5.2 常平均曲率超曲面的曲率估计 229
5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面 235
§6 平均曲率流 238
6.1 平均曲率流方程 238
6.2 解的短时间存在性 240
6.3 度量和曲率的发展 241
6.4 紧致凸超曲面的收缩 244
附录A 欧氏空间点集拓扑概要 250
附录B 曲面的拓扑分类 259
参考文献 274