第1章 集合与函数 1
1.1 集合与实数集 1
1.1.1 集合及其运算 1
1.1.2 实数的性质 3
1.1.3 区间与邻域 5
1.1.4 确界与确界原理 5
习题1.1(附答案与提示) 7
1.2 映射与函数 9
1.2.1 映射 9
1.2.2 一元函数的概念 10
1.2.3 复合函数 11
1.2.4 反函数 13
1.2.5 多元函数的概念 14
习题1.2(附答案与提示) 15
1.3 函数的几种特性与初等函数 16
1.3.1 函数的几种特性 16
1.3.2 初等函数 17
习题1.3(附答案与提示) 20
总习题(1)(附答案与提示) 23
第2章 极限与连续 25
2.1 函数极限的概念 25
2.1.1 自变量趋于有限值时函数的极限 25
2.1.2 单侧极限 28
2.1.3 自变量无限增大时函数的极限 29
2.1.4 函数值趋于无穷的情形 30
习题2.1(附答案与提示) 32
2.2 数列极限的概念 34
2.2.1 基本概念 34
2.2.2 数列极限与函数极限的关系 36
习题2.2(附答案与提示) 36
2.3 极限的运算法则 38
2.3.1 极限运算法则 38
2.3.2 渐近线 43
习题2.3(附答案与提示) 46
2.4 极限的性质与两个重要极限 47
2.4.1 极限的性质 47
2.4.2 两个重要极限 50
习题2.4(附答案与提示) 53
2.5 实数基本定理 55
2.5.1 单调有界收敛定理 55
2.5.2 闭区间套定理与致密性定理 57
2.5.3 柯西收敛准则 59
习题2.5(附答案与提示) 61
2.6 无穷小与无穷大 62
2.6.1 无穷小 62
2.6.2 无穷小的比较 62
2.6.3 无穷大 65
习题2.6(附答案与提示) 66
2.7 连续与间断 67
2.7.1 函数的连续性 68
2.7.2 函数的间断点 70
习题2.7(附答案与提示) 72
2.8 连续函数的性质 74
2.8.1 连续函数的运算 74
2.8.2 初等函数的连续性 75
2.8.3 有界闭区间上连续函数的性质 76
2.8.4 函数的一致连续性 79
习题2.8(附答案与提示) 81
总习题(2)(附答案与提示) 82
第3章 一元函数微分学 86
3.1 导数概念 86
3.1.1 导数的定义 86
3.1.2 导数的几何意义 90
习题3.1(附答案与提示) 93
3.2 求导法则 95
3.2.1 函数和、差、积、商的导数 95
3.2.2 复合函数的导数 97
3.2.3 反函数的导数 99
3.2.4 高阶导数 100
习题3.2(附答案与提示) 104
3.3 隐函数的导数和参数式求导 107
3.3.1 隐函数的导数 107
3.3.2 参数式求导 109
3.3.3 极坐标式求导 111
3.3.4 相关变化率 113
习题3.3(附答案与提示) 114
3.4 微分 116
3.4.1 局部线性化与微分 116
3.4.2 微分的运算法则 119
3.4.3 高阶微分 119
3.4.4 误差估计 120
习题3.4(附答案与提示) 122
3.5 微分中值定理 123
3.5.1 极值概念与费马定理 123
3.5.2 微分中值定理 125
3.5.3 洛必达法则 129
习题3.5(附答案与提示) 131
3.6 泰勒公式 135
3.6.1 泰勒公式 135
3.6.2 几个基本初等函数的麦克劳林公式 138
习题3.6(附答案与提示) 141
3.7 函数性态的研究 143
3.7.1 函数的单调性 143
3.7.2 函数极值的判定 145
3.7.3 函数的凹凸性 146
习题3.7(附答案与提示) 150
3.8 最优化问题数学模型 154
3.8.1 横梁强度模型 154
3.8.2 用料最省模型 154
3.8.3 最优路径模型 155
3.8.4 运河行船模型 156
习题3.8(附答案与提示) 157
3.9 求函数零点的牛顿法 159
习题3.9(附答案与提示) 161
总习题(3)(附答案与提示) 161
第4章 一元函数积分学 167
4.1 定积分的概念与性质 167
4.1.1 定积分的定义 167
4.1.2 可积函数类 172
4.1.3 定积分的基本性质 172
习题4.1(附答案与提示) 176
4.2 微积分基本定理 178
4.2.1 牛顿-莱布尼兹公式 178
4.2.2 变限的定积分与原函数的存在性 179
习题4.2(附答案与提示) 181
4.3 不定积分 183
4.3.1 不定积分的概念与性质 183
4.3.2 基本积分表 185
习题4.3(附答案与提示) 186
4.4 换元积分法 188
4.4.1 第一换元法 188
4.4.2 第二换元法 191
4.4.3 定积分的换元法 193
习题4.4(附答案与提示) 195
4.5 分部积分法 197
4.5.1 不定积分的分部积分法 197
4.5.2 定积分的分部积分法 199
习题4.5(附答案与提示) 201
4.6 有理函数的积分 204
4.6.1 有理函数的积分 204
4.6.2 三角函数有理式的积分 207
习题4.6(附答案与提示) 208
4.7 广义积分 209
4.7.1 无穷区间上的广义积分 209
4.7.2 无界函数的广义积分 211
4.7.3 Г-函数与B-函数 213
习题4.7(附答案与提示) 215
4.8 定积分在几何上的应用 216
4.8.1 微元法 216
4.8.2 平面图形的面积 217
4.8.3 由已知平面截面面积求体积 218
4.8.4 旋转体的体积 219
4.8.5 光滑平面曲线的弧长与曲率 220
4.8.6 旋转体的侧面积 223
习题4.8(附答案与提示) 225
4.9 定积分在物理上的应用 226
4.9.1 变力作功 226
4.9.2 质心 227
4.9.3 引力 230
4.9.4 液体的静压力 230
习题4.9(附答案与提示) 231
4.10 定积分的近似计算 232
4.10.1 矩形法 232
4.10.2 梯形法 233
4.10.3 抛物线法 234
习题4.10(附答案与提示) 236
总习题(4)(附答案与提示) 236
第5章 微分方程 242
5.1 微分方程的基本概念 242
习题5.1(附答案与提示) 245
5.2 变量可分离方程及齐次方程 246
5.2.1 变量可分离方程 246
5.2.2 齐次方程 248
5.2.3 增长与衰减模型 250
习题5.2(附答案与提示) 253
5.3 一阶线性微分方程 255
5.3.1 线性齐次方程 255
5.3.2 线性非齐次方程 256
5.3.3 伯努利方程 258
习题5.3(附答案与提示) 260
5.4 可降阶的高阶方程 261
5.4.1 y(n)=f(x)型方程 261
5.4.2 y"=f(x,y＇)型方程 261
5.4.3 y"=f(y,y＇)型方程 262
习题5.4(附答案与提示) 266
5.5 二阶微分方程 267
5.5.1 振动与二阶微分方程 267
5.5.2 合理猜测法 269
5.5.3 二阶线性微分方程解的结构 271
5.5.4 常数变易法 276
习题5.5(附答案与提示) 278
5.6 二阶常系数线性微分方程 280
5.6.1 常系数线性齐次微分方程 280
5.6.2 常系数线性非齐次微分方程 284
5.6.3 欧拉方程 288
习题5.6(附答案与提示) 289
5.7 微分方程组 292
5.7.1 微分方程组的基本概念 293
5.7.2 常系数线性微分方程组解法举例 294
习题5.7(附答案与提示) 296
总习题(5)(附答案与提示) 296
附录一 积分表 300
附录二 几种常用的曲线 308
参考文献 311