第一章 微分几何导引 1
1.1 曲线坐标系 最简单的例子 1
1.1.1 引论 1
目录 1
1.1.2 笛卡儿坐标和曲线坐标 2
1.1.3 曲线坐标系的最简单例子 6
1.2 在曲线坐标系中曲线的长 9
1.2.1 在欧氏坐标系中曲线的长 9
1.2.2 在曲线坐标系中曲线的长 10
1.2.3 在欧氏空间区域中黎曼度量的概念 13
1.2.4 不定度量 15
1.3 球面和平面上的几何 17
1.4 伪球面和лобачевский几何 21
2.1.1 度量空间 33
第二章 一般拓扑 33
2.1 度量空间和拓扑空间的定义及最简单性质 33
2.1.2 拓扑空间 34
2.1.3 连续映射 35
2.1.4 商拓扑 37
2.2 连通性 分离公理 38
2.2.1 连通性 38
2.2.2 分离公理 40
2.3 紧致空间 41
2.3.1 紧致空间 41
2.3.2 紧致空间的性质 42
2.3.3 紧致的度量空间 42
2.4 函数的可分离性 1的分解 43
2.3.4 在紧致空间上的运算 43
2.4.1 函数的可分离性 44
2.4.2 1的分解 45
第三章 光滑流形（一般理论） 47
3.1 流形的概念 48
3.1.1 基本的定义 48
3.1.2 坐标变换函数 光滑流形的定义 51
3.1.3 光滑流形 微分同胚 53
3.2 用方程给出流形 55
3.3 切向量 切空间 59
3.3.1 简单的例子 59
3.3.2 切向量的一般定义 61
3.3.3 切空间Tp0(M) 62
3.3.4 函数的方向导数 63
3.3.5 切丛 65
3.4 子流形 67
3.4.1 光滑映射的微分 67
3.4.2 映射的局部性质和微分 69
3.4.3 流形在欧氏空间的嵌入 70
3.4.4 流形上的黎曼度量 71
3.4.5 Sard定理 73
第四章 光滑流形（例） 76
4.1 平面曲线论和三维空间中的曲线论 76
4.1.1 平面曲线论 Frenet公式 76
4.1.2 空间曲线论 Frenet公式 80
4.2 曲面 第一和第二基本形式 85
4.2.1 第一基本形式 85
4.2.2 第二基本形式 87
4.2.3 超曲面上光滑曲线的初等理论 91
4.2.4 二维曲面的Gauss曲率和平均曲率 95
4.3 变换群 102
4.3.1 变换群的简单例子 102
4.3.2 矩阵的变换群 111
4.3.3 完全线性群 112
4.3.4 特殊线性群 113
4.3.5 正交群 113
4.3.6 酉群和特殊酉群 114
4.3.7 非紧致辛群和紧致辛群 117
4.4 动力系统 120
4.5.1 带边流形 130
4.5 二维曲面的分类 130
4.5.2 可定向流形 131
4.5.3 二维流形的分类 132
4.6 作为二维流形的代数函数的黎曼曲面 142
第五章 张量分析与黎曼几何 151
5.1 流形上张量场的一般概念 151
5.2 张量场的简单例子 155
5.2.1 例 155
5.2.2 张量的代数运算 158
5.2.3 反对称张量 160
5.3 联络和共变微分 166
5.3.1 仿射联络的定义和性质 166
5.3.2 黎曼联络 171
5.4.1 预先的观察 174
5.4 平行移动 测地线 174
5.4.2 平行移动的方程 175
5.4.3 测地线 177
5.5 曲率张量 184
5.5.1 预先的观察 184
5.5.2 曲率张量的坐标定义 184
5.5.3 曲率张量的不变的定义 185
5.5.4 黎曼曲率张量的代数性质 186
5.5.5 黎曼曲率张量的某些应用 189
第六章 同调论 192
6.1 外微分形式的演算 上同调 193
6.1.1 外微分形式的微分 193
6.1.2 光滑流形的上同调（De Ram上同调） 196
6.1.3 上同调群的拓扑性质 199
6.2 外形式的积分 202
6.2.1 微分形式在流形上的积分 202
6.2.2 Stokes公式 203
6.3 映射度及其应用 206
6.3.1 映射度 206
6.3.2 代数基本定理 207
6.3.3 形式的积分 208
6.3.4 超曲面的Gauss映射 208
第七章 黎曼几何的简单变分问题 211
7.1 泛函的概念 极值函数 Euler方程 211
7.2 测地线的极值性 216
7.3 极小曲面 219
7.4 变分法和辛几何 221
译者后记 233