绪论 1
一、线性代数的发展简史 1
1.了解数学史的重要意义 1
2.代数学的历史发展情况 1
3.线性代数主要概念的形成 3
二、本书中使用的主要符号简介 8
第1章 行列式 11
1.1二阶与三阶行列式 11
1.1.1二阶行列式的概念 11
1.1.2三阶行列式的概念 12
1.2全排列及其逆序数 13
1.2.1逆序的概念 13
1.2.2偶排列与奇排列的概念 14
1.3 n阶行列式的定义 14
1.4对换 16
1.5行列式的性质 18
1.6行列式按行（列）展开 23
1.7克拉默法则——用行列式求解n元线性方程组 29
习题A 32
习题B 34
上机实验实习题 35
第2章 矩阵及其运算 36
2.1矩阵的概念 36
2.2矩阵的运算 39
2.2.1矩阵的加法 39
2.2.2数与矩阵相乘 40
2.2.3矩阵与矩阵相乘 40
2.2.4矩阵的转置 42
2.2.5方阵的行列式 44
2.2.6共轭矩阵 46
2.3方阵的逆矩阵 46
2.4分块矩阵与矩阵的分块运算 51
2.5矩阵的初等变换与初等矩阵 58
2.6矩阵的秩 66
习题A 71
习题B 73
上机实验实习题 74
第3章 向量组的线性相关性 75
3.1 n维向量的概念 75
3.1.1 n维向量的概念 75
3.1.2 n维向量的计算 75
3.2向量组及其线性组合 76
3.2.1向量组及线性组合的概念 76
3.2.2向量组和矩阵之间的关系 76
3.2.3两个向量组之间的关系及向量组的等价性 78
3.2.4向量组等价的几何解释 78
3.3向量组的线性相关性及其简单性质 78
3.3.1向量组线性相关性定义 78
3.3.2向量组的线性相关性判定 79
3.3.3向量组的线性相关和线性无关的几何意义 82
3.4向量组的秩及和矩阵的秩的关系 83
3.4.1向量组的秩及最大无关组的定义 83
3.4.2向量组的最大无关组的性质 83
3.4.3向量组的秩和矩阵的秩的关系 84
3.4.4向量组的秩的几何意义 88
3.5向量的内积、长度及正交性 89
3.5.1向量的内积、长度、夹角的定义 89
3.5.2正交向量组 90
3.5.3施密特正交化方法 90
3.6正交矩阵及其性质 91
3.6.1正交矩阵的定义和性质 91
3.6.2正交矩阵与正交变换 92
3.7向量空间 93
3.7.1向量空间的定义 93
3.7.2向量空间举例 93
3.7.3向量组生成的向量空间 93
3.7.4向量空间的基、维数和坐标 94
3.7.5基变换与坐标变换 95
3.7.6向量空间的几何意义 99
习题A 99
习题B 101
上机实验实习题 102
第4章 线性方程组 103
4.1线性方程组的有解定理 103
4.1.1线性方程组的表示形式 103
4.1.2线性方程组的有解判别定理 104
4.2齐次线性方程组的基础解系 109
4.2.1齐次线性方程组解的性质 109
4.2.2齐次线性方程组的解空间、基础解系及通解结构 110
4.3非齐次线性方程组解的结构及求解方法 115
4.3.1非齐次线性方程组解的性质 115
4.3.2非齐次线性方程组解的结构 115
4.3.3初等行变换求非齐次线性方程组通解的方法 116
习题A 120
习题B 121
上机实验实习题 123
第5章 矩阵的相似及二次型化简 125
5.1方阵的特征值与特征向量 125
5.1.1特征值和特征向量的概念 125
5.1.2特征值和特征向量的求解 127
5.1.3特征值和特征向量的几何解释 129
5.1.4特征值和特征向量的性质 130
5.2相似矩阵 130
5.2.1相似矩阵的概念和性质 130
5.2.2方阵可相似对角化的充要条件 133
5.3对称矩阵的对角化 135
5.3.1实对称矩阵的特征值和特征向量 135
5.3.2实对称矩阵的正交相似对角化 136
5.4二次型及其标准形 138
5.4.1二次曲面的化简问题 138
5.4.2二次型概念及其矩阵表示 139
5.4.3二次型的标准形和规范形 140
5.5正交相似变换化简二次型 141
5.5.1正交变换化二次型为标准形的意义 141
5.5.2正交变换化二次型为标准形 142
5.6用配方法化简二次型为标准形 144
5.6.1合同变换的性质 144
5.6.2配方法化二次型为标准形 145
5.7正定二次型与正定矩阵 147
5.7.1惯性定理及二次型的定性问题 147
5.7.2二次型的定性概念及判定方法 148
习题A 150
习题B 152
上机实验实习题 153
第6章 线性空间与线性变换 154
6.1线性空间及基与维数 154
6.1.1线性空间的概念和性质 154
6.1.2线性空间的基与维数 157
6.2基变换与坐标变换 160
6.3线性变换及矩阵表示 163
6.3.1线性变换 163
6.3.2线性变换的矩阵表示式 167
6.3.3双线性函数 170
习题A 171
习题B 172
上机实验实习题 174
参考文献 175
附录一 基于软件Matlab的线性代数实验 176
一、Matlab基础简介 176
1.Matlab简介 176
2.Matlab进行数学运算的基本方法及M文件的创建 176
3.Matlab对使用变量名称的规定 177
4.Matlab程序控制语句 177
二、常见线性代数相关问题的Matlab函数 179
三、典型例题解析 180
附录二 线性代数模型在实际问题中的应用 191
一、模型与数学模型 191
1.模型 191
2.数学模型 191
二、数学建模 192
三、线性代数模型在实际问题中的应用案例 192
1.过定点的曲线与曲面方程的建立 192
2.求多元函数的极值 193
3.人口比例的变化 195
4.最小二乘法建立离散数据的拟合曲线 195
5.线性系统稳定性的判定 199
6.平衡温度分布的数学建模 200
附录三 自测题及参考答案 203
自测题（一） 203
自测题（一）参考答案 205
自测题（二） 206
自测题（二）参考答案 208
附录四 各章习题参考答案 211