1 数值计算概论 1
1.1 数值分析的对象与特点 1
1.1.1 研究对象 1
1.1.2 主要特点 2
1.1.3 数值问题与数值方法 2
1.2 误差与有效数字 4
1.2.1 误差的来源与分类 4
1.2.2 误差概念 5
1.2.3 有效数字 6
1.3 误差估计与误差分析 7
1.3.1 算术运算的误差界 7
1.3.2 函数求值的误差估计 8
1.3.3 误差分析方法 9
1.4 误差的定性分析与运算原则 11
1.4.1 算法的数值稳定性 11
1.4.2 病态问题与条件数 13
1.4.3 数值运算的简单原则 14
1.5 并行算法及其基本概念 17
1.5.1 并行算法及其分类 17
1.5.2 并行算法基本概念及设计原则 21
2 插值法 24
2.1 引言 24
2.1.1 插值的意义 24
2.1.2 插值问题的提法 24
2.2.1 基函数 26
2.1.3 插值多项式的存在惟一性 26
2.2 拉格朗日插值 26
2.2.2 拉格朗日插值多项式 28
2.2.3 余项 29
2.3 艾特肯法 30
2.3.1 问题的提出 30
2.3.2 艾特肯法的描述 31
2.3.3 计算工作量 32
2.4 均差与牛顿插值 34
2.4.1 均差 34
2.4.2 牛顿插值公式 36
2.4.3 计算工作量 37
2.5.1 差分 38
2.5 差分与等距节点插值 38
2.5.2 牛顿差分插值公式 41
2.5.3 高斯公式 42
2.5.4 斯特林公式 44
2.5.5 贝塞尔公式 44
2.5.6 等距节点插值公式的使用 45
2.6 埃尔米特插值 48
2.6.1 一般提法 48
2.6.2 插值多项式的建立与余项 49
2.6.3 重节点均差与均差形式的埃尔米特插值多项式 51
2.7.1 插值多项式的收敛性与病态性质 54
2.7 插值多项式的收敛性与稳定性 54
2.7.2 插值函数的稳定性 57
2.8 分段低次插值 59
2.8.1 分段线性插值 59
2.8.2 分段三次埃尔米特插值 61
2.9 样条插值 62
2.9.1 样条函数 62
2.9.2 B样条 63
2.9.3 三次样条插值问题的提法 65
2.9.4 均匀分划的三次样条插值函数 67
2.9.5 任意分划的三次样条插值函数 71
2.9.6 三次样条插值的收敛性 73
2.10 反插值 75
2.10.1 插值与反插值 75
2.10.2 利用函数的插值多项式反插 76
2.10.3 构造反函数的插值多项式 78
2.11 有理函数插值 79
2.11.1 有理插值的存在惟一性 79
2.11.2 蒂埃勒倒差商算法 82
3 函数逼近与曲线拟合 86
3.1 函数空间的范数与最佳逼近问题 86
3.1.1 函数逼近与函数空间的范数 86
3.1.2 最佳逼近问题 87
3.2.1 连续函数的一致逼近 88
3.2 最佳一致逼近 88
3.2.2 最佳一致逼近多项式 90
3.3 最佳一致逼近多项式的数值方法 93
3.3.1 最佳一致线性逼近 93
3.3.2 列梅兹算法 94
3.4 正交多项式 96
3.4.1 内积与正交多项式 96
3.4.2 勒让德多项式 100
3.4.3 切比雪夫多项式 101
3.4.4 其他常用的正交多项式 104
3.5 最佳平方逼近 105
3.6.1 最佳平方逼近与广义傅里叶级数 110
3.6 用正交函数族作最佳平方逼近 110
3.6.2 用勒让德多项式作平方逼近 111
3.6.3 截断切比雪夫级数 113
3.7 近似最佳一致逼近 115
3.7.1 泰勒级数项数的节约 115
3.7.2 切比雪夫多项式零点插值 117
3.8 曲线拟合的最小二乘法 119
3.8.1 基本原理 119
3.8.2 线性最小二乘逼近 121
3.8.3 用正交多项式作最小二乘拟合 126
3.8.4 多元最小二乘拟合 128
3.9 傅里叶逼近 128
3.9.1 最佳平方逼近与三角插值 128
3.9.2 快速傅里叶变换 132
3.10 有理逼近与连分式 136
3.11 最佳有理逼近 141
3.12 帕德逼近 146
3.13 梅利逼近 151
3.14 函数的连分式展开 156
4 数值积分与数值微分 163
4.1 引言 163
4.2 牛顿-科茨求积公式 164
4.2.1 公式的一般形式 164
4.2.2 梯形公式 166
4.2.3 辛普森公式 167
4.2.4 高阶牛顿-科茨公式 168
4.2.5 开型牛顿-科茨公式 170
4.3 复合求积公式 172
4.3.1 复合梯形公式 173
4.3.2 复合辛普森公式 174
4.3.3 复合求积公式的收敛性 175
4.3.4 区间逐次分半法 176
4.4 里查森外推算法和龙贝格积分法 179
4.4.1 里查森外推算法 179
4.4.2 龙贝格积分法 181
4.5 高斯求积公式 184
4.5.1 高斯型求积公式 185
4.5.2 高斯-勒让德求积公式 188
4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式 192
4.5.4 高斯-拉盖尔求积公式 193
4.5.5 高斯-埃尔米特求积公式 194
4.6 预先给定节点的高斯求积公式 195
4.6.1 高斯-拉道求积公式 195
4.6.2 高斯-洛巴托求积公式 196
4.7 切比雪夫求积法 198
4.8 三次样条函数求积法 202
4.8.1 一般情况的求积公式 203
4.8.2 简单情况的求积公式 204
4.9 自适应积分法 206
4.9.1 自适应辛普森方法 207
4.9.2 计算步骤 209
4.10 奇异积分的计算 212
4.10.1 积分变量替换 212
4.10.2 极限过程 213
4.10.3 奇异性的解析处理 214
4.10.4 乘积积分 216
4.10.5 削减奇异性方法 219
4.10.6 康托洛维奇方法 219
4.10.7 高斯求积 221
4.11 振荡函数的积分 223
4.11.1 在两零点之间的积分 224
4.11.2 菲隆方法 224
4.12.1 变量替换 227
4.12 无穷区间上的积分 227
4.12.2 无穷区间的截断 228
4.12.3 无穷区间上的高斯求积公式 229
4.12.4 极限过程 230
4.13 重积分的数值计算 232
4.13.1 基本概念 232
4.13.2 梯形公式及其复合公式 233
4.13.3 辛普森求积公式及其复合公式 235
4.13.4 高斯型求积公式 238
4.13.5 一般积分区域 239
4.14.1 数值微分的概念 240
4.14 数值微分的基本方法 240
4.14.2 用插值多项式求数值微分 242
4.14.3 将微分问题化为积分问题 245
4.14.4 用三次样条函数求数值微分 248
4.14.5 二阶导数 249
4.15 数值微分的外推算法 251
4.16 附表 253
4.16.1 高斯-勒让德求积公式的节点和系数 253
4.16.2 高斯-拉盖尔求积公式的节点和系数 256
4.16.3 高斯-埃尔米特求积公式的节点和系数 257
5 方程求根 259
5.1 方程求根与二分法 259
5.1.1 方程求根与根的隔离 259
5.1.2 二分法 260
5.2 迭代法及其收敛性 262
5.2.1 不动点迭代法 262
5.2.2 不动点存在性与迭代法收敛性 264
5.3 迭代法的加速收敛 267
5.3.1 艾特肯加速方法 267
5.3.2 斯蒂芬森迭代法 268
5.4 牛顿法 270
5.4.1 牛顿法及其收敛性 270
5.4.2 简化牛顿法与牛顿下山法 272
5.5 弦截法与抛物线法 273
5.5.1 弦截法 274
5.5.2 试位法与斯蒂芬森方法 275
5.5.3 抛物线法 276
5.6 多重迭代法 279
5.7 重根计算 281
5.8 代数方程求根与迭代法 283
5.8.1 引言与多项式求值 283
5.8.2 牛顿法与拉盖尔迭代法 284
5.9 根模的界与实根隔离 286
5.9.1 根模的上下界 286
5.9.2 施图姆序列 289
5.10 伯努利方法 291
5.11 劈因子法 293
5.12 复根的隔离 297
5.13 复多项式的圆盘迭代法 303
5.14 病态代数方程 309
6.1 引言 311
6 解线性方程组的直接方法 311
6.2 矩阵分析 312
6.2.1 向量范数 312
6.2.2 矩阵范数 313
6.2.3 初等矩阵 315
6.3 高斯顺序消去法和矩阵的LU分解 318
6.4 高斯主元素消去法 321
6.5 高斯-若尔当消去法 324
6.5.1 列主元高斯-若尔当消去法 324
6.5.2 高斯-若尔当消去法求逆矩阵 326
8.1.4 扰动和敏感性 425
8.2.1 矩阵的变换和矩阵的舒尔分解 428
8.2 矩阵的变换和矩阵的分解 428
8.2.2 豪斯霍尔德变换和吉文斯变换 429
8.2.3 化矩阵为海森伯格形 431
8.2.4 矩阵的QR分解 434
8.3 幂法和反幂法 437
8.3.1 幂法 437
8.3.2 加速方法 438
8.3.3 收缩方法 440
8.3.4 反幂法和原点位移 444
8.4 QR算法 445
8.4.1 基本算法及收敛性 446
8.4.3 原点位移的QR算法 448
8.4.2 海森伯格阵的QR算法 448
8.4.4 双步隐式QR算法 450
8.5 对称QR算法 455
8.6 雅可比方法 460
8.6.1 经典雅可比方法 460
8.6.2 行循环雅可比方法 463
8.7 子空间迭代法 464
8.8 阿诺尔德方法 466
8.9 兰乔斯方法 468
8.10 对称广义特征值问题 472
8.10.1 楚列斯基-对称QR算法 472
8.10.2 兰乔斯算法 473
9.1.1 非线性方程组求解问题 476
9 非线性方程组数值解与最优化方法 476
9.1 引言 476
9.1.2 无约束最优化与非线性最小二乘 478
9.1.3 非线性映射的导数与中值定理 480
9.2 迭代法与不动点定理 483
9.2.1 迭代法基本概念 483
9.2.2 压缩映射原理与不动点定理 485
9.3 牛顿型方法 486
9.3.1 牛顿法与牛顿型方法 486
9.3.2 牛顿法的收敛性与误差估计 489
9.3.3 离散牛顿法与修正牛顿法 491
9.3.4 牛顿下山法 493
9.4.1 布朗方法 494
9.4 布朗方法与布兰特方法 494
9.4.2 布兰特方法 499
9.5 牛顿松弛型迭代法 501
9.5.1 顿-SOR迭代法 502
9.5.2 非线性松弛迭代法 504
9.6 割线法 506
9.7 拟牛顿法 512
9.7.1 拟牛顿法的基本思想 512
9.7.2 布罗依登方法 514
9.7.3 秩2校正公式 518
9.8.1 延拓法基本思想 519
9.8 延拓法 519
9.8.2 数值延拓法 521
9.8.3 参数微分法 523
9.9 单纯形算法 525
9.9.1 三角剖分与算法基本思想 525
9.9.2 同伦算法 529
9.10 区间迭代法 532
9.11 并行多分裂方法 536
9.11.1 线性多分裂方法 536
9.11.2 非线性多分裂方法 539
9.12 无约束最优化方法 543
9.12.1 基本概念 543
9.12.2 下降算法与一维搜索 546
9.12.3 最速下降法与牛顿下降法 547
9.12.4 共轭梯度法 550
9.12.5 变尺度法 551
9.13 非线性最小二乘法 552
10 常微分方程初值问题的数值方法 555
10.1 引言 555
10.1.1 常微分方程的初值问题 555
10.1.2 数值离散方法 558
10.2 显式单步法的一般概念 560
10.3 欧拉方法 563
10.3.1 欧拉方法 563
10.3.2 隐式欧拉方法和梯形方法 565
10.3.3 改进的欧拉方法 566
10.4 龙格-库塔方法 567
10.4.1 显式龙格-库塔方法的一般形式 567
10.4.2 二阶显式龙格-库塔方法 568
10.4.3 三阶显式龙格-库塔方法 570
10.4.4 四阶显式龙格-库塔方法 571
10.4.5 高阶显式龙格-库塔方法 573
10.4.6 龙格-库塔-费尔贝格方法 574
10.4.7 隐式龙格-库塔方法 580
10.4.8 单步法的绝对稳定性 586
10.5 线性多步法 591
10.5.1 线性多步法的一般概念 591
10.5.2 亚当斯方法 594
10.5.3 尼斯特龙方法 597
10.5.4 汉明方法 598
10.5.5 线性多步法的收敛性 598
10.5.6 线性多步法的稳定性 600
10.5.7 线性多步法的绝对稳定性 601
10.6 预测-校正方法 604
10.6.1 预测-校正的一般方法 604
10.6.2 亚当斯预测-校正方法 605
10.6.3 汉明预测-校正方法 607
10.7 外推方法 607
10.7.1 外推的一般方法 607
10.7.2 格拉格外推方法 609
10.8.2 高阶方程的数值方法 611
10.8 方程组和高阶方程的数值方法 611
10.8.1 一阶微分方程组的数值方法 611
10.9 刚性方程组的数值方法 612
10.9.1 方程组的刚性现象 612
10.9.2 刚性方程组的稳定性 614
10.9.3 刚性方程组的数值方法 615
11 常微分方程边值问题的数值方法 618
11.1 引言 618
11.2 打靶法 620
11.2.1 线性边值问题的打靶法 620
11.2.2 非线性边值问题的打靶法 622
11.3.1 线性边值问题的差分方法 625
11.3 有限差分方法 625
11.3.2 非线性边值问题的差分方法 630
11.4 变分方法 632
11.4.1 变分问题 633
11.4.2 变分问题的近似计算 637
11.5 有限元方法 640
11.5.1 线性元 641
11.5.2 高次元 647
11.6 样条函数方法 650
12 偏微分方程数值解法 653
12.1 椭圆型方程的有限差分方法 653
12.1.1 典型问题 653
12.1.2 网格和差分近似 654
12.1.3 差分格式的构造方法 655
12.1.4 常用的有限差分格式 657
12.1.5 边界条件的处理 659
12.2 双曲型方程的差分方法 664
12.2.1 典型问题 664
12.2.2 差分格式 666
12.2.3 对流方程的差分格式 671
12.2.4 二维对流方程的差分格式 678
12.2.5 波动方程的差分格式 681
12.3 抛物型方程的差分方法 684
12.3.1 典型问题 684
12.3.2 扩散方程的差分格式 686
12.3.3 对流扩散方程的差分方法 693
12.3.4 二维扩散方程的差分方法 697
12.4 有限元方法 700
12.4.1 椭圆型边值问题的变分原理 700
12.4.2 三角形线性元 703
12.4.3 三角形单元上的高次插值 715
12.4.4 矩形单元 720
12.4.5 等参数单元 723
13 多重网格法 725
13.1 多重网格法基本原理 726
13.1.1 模型 726
13.1.2 多重网格法思想 727
13.1.3 双网格方法 728
13.1.4 多重网格法原理——一维模型问题分析 731
13.2 线性多重网格法 738
13.3 完整的多重网格法 742
13.4 二维多重网格诸元素 744
13.4.1 差分格式 744
13.4.2 光滑迭代 744
13.4.3 网格粗化 750
13.4.4 延拓或插值 750
13.4.5 限制 753
13.5 非线性多重网格法 754
13.5.1 牛顿多重网格法 755
13.5.2 非线性多重网格法 756
13.6 计算机上的执行性能 761
13.6.1 数据结构 761
13.6.2 存储量 763
13.6.3 计算量 763
14 积分方程数值解法 765
14.1 引言 765
14.2 第二类弗雷德霍姆积分方程的数值求积方法 766
14.2.1 方法的一般描述 766
14.2.2 乘积积分法 768
14.2.3 修正的数值求积方法 770
14.2.4 重叠核方法 772
14.3 近似退化核替代法 774
14.4 基于解的展开方法 777
14.4.1 最小二乘近似 777
14.4.2 矩量法 779
14.5 特征值问题 781
14.6 第二类沃尔泰拉积分方程的数值积分法 784
14.6.1 用多步法解第二类沃尔泰拉积分方程 785
14.6.2 用龙格-库塔型方法解第二类沃尔泰拉积分方程 789
附录 数学软件Matlab简介 792
外国人名表 797
外文一中文名词索引 802
中文一外文名词索引 819
参考文献 836