上编 复变函数导论 1
第一章 复数和复变函数 1
1.1 复数 1
1.2 复数的几何表示 3
1.3 复变函数 10
1.4 单值函数 13
1.5 极限与连续 15
1.6 导数 19
1.7 解析 24
1.8 解析函数与调和函数的关系 26
1.9 多值函数与黎曼面 28
1.10 小结 37
第二章 复变函数的积分 49
2.1 复变函数的积分 49
2.2 解析函数的积分 52
2.3 柯西公式 57
2.4 柯西型积分 59
2.5 柯西导数公式 60
2.6 解析函数的不定积分 62
2.7 小结 65
第三章 级数 77
3.1 复数项级数 77
3.2 复变函数项级数 79
3.3 幂级数 81
3.4 解析函数与幂级数 84
3.5 解析函数与双边幂级数 88
3.6 解析函数的泰勒展开方法 91
3.7 解析函数的洛朗展开方法 94
3.8 孤立奇点 97
3.9 无限远点 102
3.10 小结 106
第四章 留数 128
4.1 柯西公式的另一种形式 128
4.2 应用级数分析留数定理 131
4.3 解析函数在无限远点的留数 133
4.4 利用留数定理计算实函数的定积分 135
4.5 广义积分的柯西主值 142
4.6 对数留数和辐角原理 146
4.7 围线积分方法 149
4.8 黎曼面上的多值函数积分 151
4.9 小结 155
第五章 解析延拓 169
5.1 解析函数的唯一性与解析延拓 169
5.2 含参变数的积分 175
5.3 Γ函数的解析延拓 178
5.4 小结 182
第六章 积分变换 188
6.1 傅里叶级数 188
6.2 傅里叶积分 191
6.3 傅里叶变换 194
6.4 拉普拉斯变换 197
6.5 黎曼-梅林公式 207
6.6 拉普拉斯变换的应用 210
6.7 小结 213
第七章 δ函数和广义函数 223
7.1 δ函数 223
7.2 广义函数论的基本概念 227
7.3 δ函数的常用公式 231
7.4 小结 241
第八章 数学物理方程的导出 247
8.1 振动方程 247
下编 数理方程和特殊函数 247
8.2 扩散方程和热传导方程 250
8.3 拉普拉斯方程 252
8.4 波动方程 253
8.5 线性方程和叠加原理 255
8.6 定解条件 257
8.7 小结 260
第九章 本征函数法 273
9.1 分离变量法 273
9.2 有界杆的导热问题 279
9.3 齐次边界条件和延拓 282
9.4 含非齐次边界条件的定解问题 286
9.5 按本征函数系展开方法解数理方程 290
9.6 正交曲线坐标系中的度规系数和拉普拉斯算符 294
9.7 亥姆霍兹方程的分离变量 297
9.8 斯特姆-刘维尔本征问题 300
9.9 圆形域中的调和函数 306
9.10 小结 314
第十章 勒让德多项式和球谐函数 344
10.1 球坐标系下的数理方程 344
10.2 常微分方程的幂级数解法 346
10.3 勒让德多项式 349
10.4 勒让德方程的本征值和本征函数 354
10.5 母函数和递推公式 357
10.6 勒让德多项式的模 362
10.7 具有轴对称性的物理问题 365
10.8 连带勒让德多项式 369
10.9 球谐函数 373
10.10 小结 378
第十一章 贝塞耳函数 398
11.1 柱坐标系下的偏微分方程 398
11.2 贝塞耳方程的幂级数解 400
11.3 整数阶贝塞耳函数 404
11.4 贝塞耳函数的性质 408
11.5 物理实例 413
11.6 第二类贝塞耳函数 417
11.7 贝塞耳函数的路径积分表示 424
11.8 柱函数 427
11.9 半奇数阶贝塞耳函数 430
11.10 变形贝塞耳函数 433
11.11 球贝塞耳函数 437
11.12 小结 441
第十二章 积分变换法 469
12.1 一维无界空间中的扩散 469
12.2 半无界的扩散问题 472
12.3 无界弦的振动 473
12.4 用拉普拉斯变换法解数理方程 476
12.5 小结 477
第十三章 格林函数 488
13.1 稳恒数理方程的格林函数 488
13.2 随时间变化的数理方程的格林函数 493
13.3 冲量定理法 499
13.4 一维边值问题的格林函数 507
13.5 拉普拉斯算符的格林公式 514
13.6 亥姆霍兹方程的格林函数 521
13.7 伴随算符和广义格林公式 524
13.8 自伴算符和自伴本征值问题 528
13.9 小结 531
第十四章 数学物理方程的分类 553
14.1 两个自变数的情况 553
14.2 特征线和方程的标准形式 556
14.3 多自变数方程的分类 558
14.4 小结 560