第一部分 常微分方程的数值解法 2
第1章 常微分方程初值问题 2
1.1 基本概念Euler法与梯形法 3
1.1.1 Eu1er法 3
1.1.2 梯形法 8
1.2 Runge-Kutta方法及一般单步方法 10
1.2.1 RK方法的构造 11
1.2.2 单步方法的相容性与收敛性 20
1.2.3 RK方法的应用 24
1.3 线性多步方法 25
1.3.1 线性多步方法的构造 26
1.3.2 线性多步方法的应用 32
1.4 线性差分方程的基本知识 36
1.4.1 一般性质 36
1.4.2 常系数齐次差分方程的基本解组 37
1.4.3 常系数差分方程解的渐近性质 40
1.5 一般多步方法的收敛性 42
1.5.1 多步方法的收敛性 42
1.5.2 线性多步方法情形的进一步结果 47
1.6 数值稳定性 51
1.6.1 线性多步方法的绝对稳定性 51
1.6.2 绝对稳定区间的确定 56
1.6.3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性 58
1.7 一阶方程组与刚性问题 60
1.7.1 一阶方程组 60
1.7.2 刚性问题 63
本章小结与补充讨论 68
习题 69
主要参考书目 72
第二部分 偏微分方程的差分方法 75
第2章 椭圆型方程 75
2.1 常微分方程两点边值问题的差分格式 76
2.1.1 用差商代替导数的方法 77
2.1.2 积分插值法 81
2.1.3 边界条件的处理 82
2.2 椭圆型方程边值问题的差分格式 84
2.2.1 矩形网格剖分 85
2.2.2 矩形域上的Poisson方程 86
2.2.3 Neumann问题 89
2.2.4 矩形域上混合边界条件 90
2.2.5 非矩形域上非正则内点的处理 93
2.2.6 变系数自共轭方程的情形 94
2.2.7 用积分插值法构造差分格式 96
2.3 极值原理与差分格式的收敛性 99
2.3.1 线性椭圆型差分方程的一般形式 99
2.3.2 极值原理及差分格式之解的先验估计 101
2.3.3 五点格式的稳定性与收敛性 106
2.4.1 记号，若干差分公式与不等式 110
2.4 能量估计与差分格式的收敛性 110
2.4.2 差分算子的特征值与特征函数 112
2.4.3 两点边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性 116
2.4.4 二阶自共轭椭圆型方程边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性 120
2.5 交替方向迭代法 125
2.5.1 模型问题 125
2.5.2 Peaceman-Rachford迭代格式 127
2.5.3 PR迭代格式中迭代参数的选择 129
2.5.4 其它交替方向迭代格式 134
2.6 Buneman约简方法 136
2.7 预处理共轭斜量法 144
本章小结与补充讨论 148
习题 149
第3章 抛物型方程 152
3.1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式 153
3.1.1 常系数热传导方程的古典格式 154
3.1.2 变系数方程的差分格式 160
3.2 差分格式的稳定性与收敛性 163
3.2.1 差分格式的稳定性 163
3.2.2 差分格式的相容性与收敛性 170
3.3.1 矩阵方法的一般讨论 172
3.3 稳定性研究中的矩阵方法 172
3.3.2 常系数热传导方程古典格式的稳定性 175
3.3.3 第三边值问题差分格式的稳定性 181
3.4 稳定性研究中的分离变量法 184
3.4.1 分离变量法的一般讨论 184
3.4.2 对多个空间变量情形的应用 188
3.4.3 对三层格式的应用 191
3.5 用能量估计方法分析热传导方程差分格式的稳定性 197
3.5.1 热传导系数与时间无关的情形 197
3.5.2 热传导系数与时间相关的情形 201
3.6 差分格式的单侧逼近性质及其应用 208
3.7 交替方向隐格式及相关的格式 214
3.7.1 PR格式 215
3.7.2 Douglas格式 218
3.7.3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法 221
3.7.4 局部一维格式与预测-校正格式 222
本章小结与补充讨论 226
习题 228
第4章 双曲型方程 233
4.1 一阶线性双曲型方程的差分格式 234
4.1.1 一阶常系数方程初值问题 234
4.1.2 一阶常系数方程初边值问题 243
4.1.3 一阶变系数方程初边值问题 248
4.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式 250
4.3 二阶线性双曲型方程的差分格式 254
4.3.1 一维波动方程 254
4.3.2 二阶变系数线性方程 261
4.3.3 二维波动方程 264
4.4 交替方向隐格式 267
本章小结与补充讨论 273
习题 274
主要参考书目 277
第三部分 偏微分方程的有限元方法 280
第5章 边值问题的变分原理 280
5.1 古典变分法的一些概念 280
5.1.1 泛函的极值与Euler方程 280
5.1.2 自然边界条件 288
5.1.3 多个自变量的情形 290
5.1.4 自然边界条件(续) 294
5.2 边值问题的变分原理 298
5.2.1 边值问题与最小位能原理 298
5.2.2 虚功原理 301
5.2.3 边值问题与变分问题的等价性 303
5.2.4 内边界条件 304
5.3 Sobolev空间与广义解 307
5.3.1 广义导数 308
5.3.2 Sobolev空间 314
5.3.3 广义解的存在性和唯一性 316
5.4.1 Ritz方法 325
5.4 变分近似法 325
5.4.2 Galerkin方法 327
5.4.3 投影定理 328
本章小结与补充讨论 331
习题 332
第6章 有限元方法的基本结构 336
6.1 两点边值问题的有限元方法 337
6.1.1 用Ritz方法建立有限元方程 337
6.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程 348
6.2 二维边值问题的有限元方法 355
6.2.1 三角剖分与分片插值 356
6.2.2 单元分析与总体合成 362
6.2.3 积分的计算 369
6.2.4 本质边界条件的处理 374
6.2.5 有限元方程的求解 378
6.2.6 有限元方法的一般过程 382
本章小结与补充讨论 383
习题 384
附录：数值积分公式 386
7.1.1 引言 388
第7章 有限元方法的几个问题 388
7.1 形状函数与有限元空间 388
7.1.2 一维高次元的形状函数 393
7.1.3 一维Hermite型的形状函数 400
7.1.4 二维矩形单元的形状函数 405
7.1.5 二维三角形单元的形状函数 413
7.1.6 等参数单元 421
7.1.7 三维情形 429
7.1.8 单元形状函数小结 434
7.2.1 引言 435
7.2 收敛性与误差估计 435
7.2.2 Sobolev空间中的插值理论 437
7.2.3 有限元方法的收敛性与误差估计 448
7.3 抛物型方程的有限元方法 453
7.3.1 引言 453
7.3.2 半离散的有限元方程 458
7.3.3 全离散的有限元方程 461
本章小结与补充讨论 463
习题 464
主要参考书目 465