第1讲 数学方法论引论 1
1 研究数学方法论的意义和目的 1
2 宏观的方法论与微观的方法论 2
3 略论希尔伯特成功的社会因素 3
4 浅谈微观的数学方法论 7
第2讲 略论数学模型方法 15
1 数学模型的意义 15
2 数学模型的类别及简单例子 16
3 MM的构造过程及特点 20
4 怎样培训构造MM的能力 22
第3讲 关系映射反演原则的应用 24
1 何谓“关系映射反演原则”？ 24
2 数学中的RMI原则 27
3 若干较简单的例子 29
4 几个较难一点的例子 35
5 用RMI原则分析“不可能性命题” 39
6 关于RMI原则的补充说明 45
第4讲 略论数学公理化方法 47
1 公理化方法的意义和作用 47
2 公理化方法发展简史 48
3 公理化方法的基本内容 52
4 重要例子——几何学公理化方法 53
5 关于公理系统的相容性问题 56
6 略谈自然科学中的公理化方法 61
1 结构主义学派的形成过程 64
第5讲 关于数学的结构主义 64
2 布巴基学派的一般观点 65
3 数学结构的分类 65
4 数直线结构分析 67
5 略谈拓扑结构 68
6 略谈同构概念 70
7 略评结构主义 72
第6讲 代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法 74
1 代数基本定理与根式解法研究简史 74
2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理 78
3 伽罗瓦的思想方法 85
4 方程式可解性理论简介 91
第7讲 关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法 96
1 略论“无限”概念蕴含的矛盾 96
2 非标准数域的构造方法 100
3 非康托型自然数序列模型的构造法 109
4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释 113
5 略论无限的两种形态 114
1 悖论的定义和起源 118
第8讲 悖论与数学基础问题 118
2 悖论举例和数学三次危机 122
3 策莫洛对悖论的解决方案 130
4 罗素对悖论的解决方案 138
5 塔斯基及其语义学 144
6 哥德尔的不完备性定理与悖论 146
7 悖论的成因与研究悖论的重要意义 149
1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因 151
第9讲 论数学基础诸流派及其无穷观 151
2 逻辑主义派的观点和方法 153
3 直觉主义派的观点和方法 158
4 略论形式公理学派的观点和主张 170
5 关于三大流派的简短评论 174
第10讲 略论数学发明创造的心智过程 176
1 何谓数学上的发明或创造？ 176
2 庞卡莱关于数学创造的论点 177
3 略谈数学创造的一般心智过程 179
附录Ⅰ 数学抽象度概念与抽象度分析法 182
1 引言 182
2 抽象与严格偏序 183
3 抽象度的一般概念 186
4 略论抽象法则与抽象难度 190
5 抽象度分析法概述 192
附录Ⅱ “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题 194
主要参考文献 204