第一章 绪论 1
1.1 微分方程的概念与实例 1
一、微分方程的概念 1
二、微分方程的实例 2
三、微分方程具有广泛的社会实践性 12
四、学习微分方程的几点要求 12
习题1.1 13
1.2 微分方程的大致分类与基本概念 14
一、微分方程的大致分类 14
二、微分方程的一些基本概念 16
习题1.2 25
本章学习小结 27
一、可分离变量方程 29
2.1 可分离变量方程与变量变换 29
第二章 一阶微分方程的初等解法 29
二、可化为可分离变量的方程类型 33
三、应用实例 44
习题2.1 51
2.2 线性方程与可化为线性方程的方程 53
一、一阶线性方程 53
二、可化为一阶线性方程的贝努利(Bernoulli)方程 60
习题2.2 63
2.3 恰当方程与积分因子 64
一、恰当方程 64
二、积分因子 74
习题2.3 89
一、一阶隐方程的概念与求解思路 92
2.4 一阶隐方程 92
二、各类型一阶隐方程的解法 93
习题2.4 108
本章学习小结 108
习题 113
第三章 一阶微分方程的初值问题的解的若干问题 115
3.1 一阶方程初值问题解的存在唯一性 117
一、方程？＝f(x，y)的初值问题解的存在唯一性 117
二、方程F(x，y，y′)＝0的初值问题解的存在唯一性 130
三、初值问题解的存在唯一性定理的某些应用 132
四、存在唯一性定理引出的问题 135
习题3.1 149
一、问题的提出 151
3.2 解的延拓 151
二、初值问题解的延拓 152
习题3.2 157
3.3 初值问题的解的性质 157
一、初值问题的解是自变量、初值的三元函数 157
二、初值问题的解关于初值的一些基本性质 158
习题3.3 171
本章学习小结 172
第四章 高阶微分方程 175
4.1 线性微分方程的一般理论 175
一、n阶线性微分方程概述 175
二、n阶齐次线性方程解的性质以及通解的结构 178
三、n阶非齐次线性方程解的性质以及通解的结构 188
习题4.1 198
一、常系数齐次线性方程和欧拉方程的解法 201
4.2 常系数线性方程的解法 201
二、常系数非齐次线性方程的解法 213
习题4.2 274
4.3 高阶方程的降阶解法和幂级数解法 276
一、降阶解法 277
二、微分方程的初值问题的幂级数解法和广义幂级数解法 286
三、应用实例 297
习题4.3 300
本章学习小结 301
一、关于解的性质 301
二、关于求解方法 302
5.1 线性微分方程组的初值问题的解的存在唯一性 304
第五章 线性微分方程组 304
一、等价性与一般性 305
二、一阶线性微分方程组的初值问题解的存在唯一性 315
习题5.1 325
5.2 线性微分方程组的一般求解理论 326
一、一阶齐次线性微分方程组的解的性质及通解的结构 326
二、一阶非齐次线性微分方程组的解的性质及通解的结构 339
习题5.2 350
5.3 常系数线性微分方程组 353
一、矩阵指数函数eAr的定义和性质 354
二、基解矩阵的计算 361
三、高阶常系数线性微分方程组及其初值问题的直接解法 401
习题5.3 406
本章学习小结 408
第六章 稳定性理论问题 414
6.1 基本概念 414
一、稳定性概念的提出 414
二、稳定性的严格定义 424
三、运用稳定性的定义讨论方程或方程组的常数特解的稳定性 426
习题6.1 427
6.2 二阶及二阶以上的n阶常系数线性驻定方程组的奇点类型及零解的稳定性 428
一、二阶驻定方程组的奇点及其类型 428
二、n阶常系数驻定线性方程组零解的稳定性 455
习题6.2 459
6.3 n阶非线性驻定方程组零解的稳定性 460
一、按第一近似确定稳定性 461
二、李雅普诺夫第二方法 467
三、含有时间t的n阶非驻定方程组的零解的稳定性 482
习题6.3 486
6.4 二阶驻定方程组的周期解与极限圈 488
一、二阶驻定方程组的极限圈的概念 488
二、极限圈的稳定性的概念 489
三、寻求方程组(6.23)的极限圈存在的方法 493
四、研究极限圈及其稳定性问题的实际意义 497
习题6.4 500
6.5 二次型V函数的构造与一类控制系统的绝对稳定性 502
一、二次型V函数的构造 502
二、一类非线性微分方程组的解的全局渐近稳定性与这类方程组的绝对稳定性 511
习题6.5 523
本章学习小结 524
答案 527