1 常微分方程初值问题 1
目录 1
1.1 单步法 2
1.1.1 Euler法及其误差 2
1.1.2 梯形法 6
1.1.3 Taylor级数法 9
1.1.4 Runge-Kutta法 10
1.1.5 单步法的收敛性与稳定性 15
1.2 线性多步法 20
1.2.1 多步法的构造 20
1.2.2 多步法的使用 30
1.2.3 多步法的稳定性与收敛性 34
1.3.1 一阶方程组 38
1.3 一阶微分方程组和高阶微分方程 38
1.3.2 刚性方程组 39
1.3.3 高阶方程 43
习题一 44
2 常微分方程边值问题 47
2.1 差分法 48
2.1.1 差分方程的建立 48
2.1.2 极值原理和差分解的唯一性 56
2.1.3 差分解的稳定性与收敛性 57
2.2 打靶法 61
2.2.1 打靶法的基本思想 61
2.2.2 线性边值问题的打靶法 61
2.2.3 非线性边值问题的打靶法 64
习题二 67
3 椭圆型方程的差分法 70
3.1 矩形网格 70
3.1.1 五点差分格式 70
3.1.2 第三类边界条件的处理 75
3.1.3 九点差分格式 76
3.2 三角形网格 78
3.3 差分解的稳定性与收敛性 81
3.3.1 极值原理与差分解的唯一性 81
3.3.2 差分解的稳定性与收敛性 82
习题三 86
4.1 一维抛物型方程的差分格式 89
4 抛物型方程的差分法 89
4.1.1 常系数热传导方程的差分格式 90
4.1.2 初边值条件的处理 96
4.1.3 变系数方程的差分格式 100
4.2 稳定性和收敛性 102
4.2.1 基本概念 102
4.2.2 稳定性与收敛性的关系 105
4.2.3 判别稳定性的直接法 107
4.2.4 判别稳定性的分离变量法 110
4.3 高维方程的差分格式 116
4.3.1 P-R格式 117
4.3.2 Douglas格式 118
4.4 显隐交替的差分格式 120
4.4.1 差分格式的单侧逼近性质 120
4.4.2 显隐交替的差分格式 121
习题四 123
5 双曲型方程的差分法 125
5.1 一阶线性双曲型方程（组）的差分格式 125
5.1.1 一阶线性双曲型方程初值问题 125
5.1.2 一阶线性双曲型方程初边值问题 132
5.1.3 一阶线性常系数双曲型方程组 134
5.2 二阶线性双曲型方程的差分格式 136
5.2.1 一维波动方程 136
5.2.2 二维波动方程 141
习题五 144
6.1 变分原理 147
6.1.1 泛函极值 147
6 变分原理及其应用 147
6.1.2 变分原理 149
6.1.3 两点边值问题 151
6.1.4 椭圆型方程边值问题 156
6.1.5 变分方程 160
6.2 变分问题的近似解法 162
6.2.1 Ritz法 162
6.2.2 Galerkin法 166
习题六 169
7 有限元法 172
7.1 两点边值问题 172
7.1.1 有限元方程的建立 172
7.1.2 二次单元 176
7.2.1 用Ritz法建立有限元方程 178
7.2 椭圆型方程边值问题 178
7.2.2 用Galerkin法建立有限元方程 185
7.2.3 刚度矩阵的性质 186
7.2.4 双线性矩形单元 188
7.3 抛物型方程初边值问题 191
7.4 插值与等参元 194
7.4.1 一维插值 194
7.4.2 二维插值 195
7.4.3 四边形等参元 200
7.4.4 三角形等参元 205
7.4.5 变节点等参元 209
习题七 212
8.1.1 化微分方程为边界积分方程 214
8.1 Laplace方程 214
8 边界元法 214
8.1.2 离散过程 216
8.1.3 常用单元 219
8.2 Poisson方程 228
8.3 Helmholtz方程 228
8.4 边界元法与有限元法的组合 232
8.4.1 组合过程 232
8.4.2 数值处理 235
习题八 235
习题参考答案 237
附录一 数值积分公式 244
附录二 偏微分方程基础知识 247
参考文献 255