一 实数——数学的基础 1
1．什么样的数叫实数？ 1
2．为什么说？是无理数？ 1
3．数轴上有表示无理数的点吗？ 2
4．如何证明？是无理数？ 3
5．为什么奇数的平方一定是奇数？ 3
6．数5K-1（K为整数）除以5，余数是几？ 5
7．｜a｜与a哪个大？ 6
8．实数a，a2≥0有什么应用？ 9
二 变化无穷的代数式 13
9．（a+b）8和（a+b）4的展开式分别是什么？ 13
10．（a+b）5的展开式是什么，联系上一个问题，有什么规律？ 14
11．什么叫做代数式的恒等变形？ 15
12．如何用α、β的和与积表示关于α、β的对称式？ 17
13．若a、b、c均为实数，a2+b2+c2-ab-ac-bc会是负数吗？ 20
14．如何判断关于x的多项式是否含因式x-a？ 23
15．对多项式进行因式分解时，怎样就算“分完”了？ 25
16．换元法在因式分解中有什么应用？ 27
17．什么叫做待定系数法？ 29
18．待定系数法在因式分解中有什么应用？ 31
19．怎样把繁分式较快地化简？ 35
20．？=x-3错在哪里？ 37
21．如何识别同类根式？ 41
三 方程的理论、解法和应用 44
22．一元一次方程一定有一解吗？ 44
23．怎样解含字母系数的一元一次方程？ 45
24．一个二元一次方程有几组解？为什么？ 46
25．二元一次方程组的解有几种情况？ 47
26．公式变形可以看作解方程吗？ 49
27．解一元二次方程只会用公式法行吗？ 50
28．解方程（3x+1）（x-1）＝（2x+3）（x-1）时，为什么不能约去（x-1）？ 53
29．解分式方程为什么要验根？怎样验根？ 53
30．解一元二次方程为什么不必验根？ 55
31．解无理方程为什么必须验根？ 56
32．解字母系数的一元二次方程要注意什么？ 58
33．如果知道一元二次方程的两个根能确定方程吗？ 59
34．为什么要研究一元二次方程的根的判别式？ 61
35．一元二次方程根的判别式为什么能判别实根的情况？ 64
36．可化为一元二次方程的分式方程的实根情况如何判断？ 66
37．怎样判别有一个二元一次方程的二元二次方程组的实解情况？ 69
38．一元二次方程判别式等于0时，为什么不说有一个实根，而强调有两个相等实根？ 71
39．有一个一次方程的二元二次方程组什么时候会出现增解？怎样避免？ 73
40．二元二次方程组有哪些常见类型？基本解法是什么？ 75
41．用解一元二次方程的方法能解其它方程吗？ 80
42．含绝对值符号的方程怎么解？ 82
43．用方程组怎么求7+2？的平方根？ 84
44．什么是不定方程？怎么解？ 87
45．不定方程有什么应用？ 88
46．“秦王暗点兵”是怎么回事？能用方程解吗？ 90
47．有一个公共根的两个一元二次方程有什么关系？ 92
48．怎么解一元二次方程中有一个公根的问题？ 93
49．一元二次方程中根与系数的关系是怎么推出来的？ 94
50．一元二次方程的根与系数关系有什么应用？ 95
51．不解方程，怎样判断一元二次方程的实根的正负？ 102
52．根与系数关系的公式只有一元二次方程有吗？ 103
53．一元一次方程的应用题有什么特点？ 105
54．解应用题时列方程好，还是列方程组好？ 107
55．列代数方程解的简单应用题主要有哪些类型？ 109
56．关于数的问题怎么列方程？ 112
57．平面几何中的图形问题能用方程解吗？ 113
58．什么是增长率？有关增长率的应用题怎么解？ 115
59．关于浓度的应用问题怎么布列方程？ 116
60．“相遇”和“追及”问题所列方程有什么区别？ 118
61．“时钟”问题怎么解？ 120
四 初等数学的核心——函数 123
62．为什么要引入平面直角坐标系？ 123
63．什么是函数概念的三要素？ 125
64．怎样确定函数中自变量的取值范围？ 126
65．怎样表示函数？ 129
66．什么是分段函数？ 131
67．怎样画函数的图象？ 132
68．k和b怎样决定直线y=kx+b（k≠0）的位置？ 133
69．解析式x=a和y=b对应的图形分别是什么？ 135
70．二次函数解析式常用形式有几种？ 136
71．如何确定二次函数解析式？ 137
72．怎样计算抛物线在x轴上截得的弦长？ 141
73．抛物线y=ax2怎样变换为抛物线y=ax2+bx+c？ 142
74．系数a、b、c的取值怎样影响抛物线y=ax2+bx+c的形状及位置？ 144
75．怎样求二次函数y=ax2+bx+c的最大值或最小值？ 146
76．当自变量x的取值范围不是全体实数时，怎样求函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值或最小值？ 150
77．怎样解求二次函数最大值或最小值的应用题？ 153
78．当函数解析式中含有字母系数时，你会对字母进行讨论吗？ 157
79．当函数解析式中含有绝对值符号时，怎样画出它的图象？ 160
80．怎样确定抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的位置关系？ 163
81．你会利用函数图象来解某些有关方程或不等式的问题吗？ 166
五 应用广泛的不等式 168
82．初中阶段应掌握不等式的哪些性质？ 168
83．如何解一元一次不等式？ 171
84．如何解不等式组？ 174
85．如何解一元二次不等式？ 177
86．一元二次不等式有何应用？ 180
87．如何解形如？>0的分式不等式？ 184
88．怎样确定ax2+bx+c的符号？ 186
89．二次三项式ax2+bx+c的值的符号在解不等式中有什么应用？ 188
90．如何解某些高次不等式？ 189
91．不等式｜x｜<a（a>0）的解集是什么？ 192
92．a>0时，为什么有｜x｜<a？x2<a2，｜x｜>a？x2>a2．有什么应用？ 193
93．如何解含绝对值的不等式？ 196
94．解不等式在根式中有什么应用？ 198
95．解不等式在研究方程中有什么应用？ 200
96．解不等式在函数中有什么应用？ 202
六 简洁的指数式 204
97．指数式在运算中有什么应用？ 204
98．当m、n均为有理数时，（am）n=amn对吗？ 206
99．为什么零的零指数幂没有意义？ 206
100．为什么零的负指数幂没有意义？ 208
七 三角函数的广泛应用 209
101．怎样理解三角函数的定义？ 209
102．0°～180°角的三角函数有哪些性质？ 211
103．应掌握的三角函数关系式有哪些？ 212
104．怎样利用诱导公式解决计算问题？ 214
105．已知角a的一个三角函数值，怎样求其它各三角函数值 215
106．怎样利用同角三角函数关系式解决求值问题？ 216
107．已知sina、cosa的值，能确定sina+cosa和sina-cosa的值吗？ 219
108．怎样证明三角恒等式？ 221
109．在解三角题过程中，你是否对符号问题给以了足够的重视？ 222
110．在三角中怎样用换元法解题？ 224
111．由cosA·cosB·cosC乘积的符号能判断△ABC的形状吗？ 225
112．怎样证明正弦定理？ 225
113．怎样利用正弦定理解斜三角形？ 227
114．已知三角形的两边及其中一边的对角，怎样解三角形？ 228
115．什么情况下可利用余弦定理解三角形？ 231
116．你会判断这些三角形的形状吗？ 232
117．怎样求船和灯塔的距离？ 234
118．你会利用测角器和皮尺测出气球的高吗？ 234
119．在三角形中，三条边长的比等于三个角的比吗？ 235
120．如何求三角式的最大值和最小值？ 237
八 图形的基础——相交线与平行线 240
121．平面几何是一门什么学科？为什么要学习平面几何？ 240
122．什么是线段、射线、直线？如何表示？ 241
123．几何课本中为什么要介绍两种角的定义？用什么方法来表示角较好？ 242
124．度量角的单位是什么？度、分、秒如何互化？ 243
125．怎么正确区分互余和互补的概念？ 246
126．什么是对顶角？对顶角为什么相等？ 247
127．怎样区别相交、斜线、互相垂直、垂线、垂足、点到直线的距离的含义？ 248
128．“三线八角”是指哪三条线？哪八个角？ 250
129．怎样应用平行线的判定方法来证题？ 251
130．命题与定理有什么联系和区别？ 253
131．如何着手证明题？ 254
132．怎样恰当应用角平分线的三种表示法？ 258
九 三角形的性质 261
133．如何找全等三角形的对应边和对应角？ 261
134．判定两个三角形全等有几种方法？为什么角、角、角与边、边、角不能判定两个三角形全等？ 263
135．怎样正确运用等腰三角形的性质定理和判定定理？ 265
136．三角形边角不等关系证明的思路方法是什么？ 266
137．如何解文字型的几何题？ 270
138．如何作含有多个条件、多个结论的命题的逆命题？ 271
139．轴对称图形与中心对称图形有什么区别和联系？ 273
140．应用基本作图如何解有关作图题？ 274
141．三角形中经常添的是哪些辅助线？ 277
142．添辅助线时应注意什么？ 282
143．如何证三角形三条边上的垂直平分线交于一点？ 283
144．如何证三角形三条角平分线交于一点？ 284
145．如何证明三角形三条边上的高交于一点？ 285
十 四边形的特点及相互关系 287
146．如何推导多边形的内角和与外角和？ 287
147．怎样计算多边形对角线的条数？ 289
148．怎样掌握平行四边形的性质和判定方法？ 290
149．证明一个四边形是矩形有几种途径？ 293
150．证明一个四边形是菱形有几种途径？ 295
151．正方形有什么特点？如何判定？ 297
152．等腰梯形的性质是什么？怎样判定？ 300
153．梯形常用的辅助线有哪些？ 303
154．如何应用三角形、梯形的中位线有关性质来解题？ 306
155．如何证明线段相等？ 310
156．如何证明角相等？ 313
157．如何证明线段与角的和、差、倍分关系？ 315
158．如何证明线段与角的不等问题？ 319
159．在平面几何中应该掌握的基本图形有哪些？ 321
160．三角形及四边形的面积公式是什么？等积变形的作图如何进行？ 324
十一 相似理论及相似形 330
161．你会设“K”吗？ 330
162．为什么要重视平行线分线段成比例定理的学习？ 332
163．你会“转移”比例吗？——平行线分线段成比例定理的重要应用。 334
164．三角形内（外）角平分线性质定理的证明给了我们什么启示？ 336
165．三角形角平分线性质定理的应用？ 338
166．如何判定两个三角形相似？——平行线与相似三角形。 340
167．如何判定两个三角形相似？——相交线与相似三角形。 343
168．如何判定两个三角形相似？——旋转与相似三角形。 345
169．射影定理有哪些主要用途？ 346
170．三角形中的三条中线为什么交于一点和如何证明重心定理？ 349
171．什么是同一法？ 350
172．怎样证明线段成比例？ 352
173．你能用三角形的面积公式证明线段成比例吗？ 355
174．你会证明？+？=？型的问题吗？ 357
175．如何利用线段成比例证明线段相等？ 360
176．相似三角形与角相等有什么关系？ 362
十二 与圆相关的概念与证明 365
177．垂径定理的逆定理有多少？ 365
178．？=？的含义是什么？ 367
179．怎样证明与圆有关的不等关系？ 368
180．哪些角与圆有关及怎样应用？ 370
181．反证法在几何中如何应用？ 372
182．怎样证明四点共圆？（一） 374
183．怎样证明四点共圆？（二） 376
184．四点共圆有哪些应用？ 377
185．直线和圆的位置关系的定理及其逆定理为什么能用等价符号，即“？”？ 380
186．怎样判定直线和圆相切？ 382
187．相交弦定理、切割线定理及其推论有无内在联系？ 383
188．怎样证明与圆有关的线段成比例（一）？——基础题的证明思路。 385
189．怎样证明与圆有关的线段成比例（二）？——较复杂题的证明思路。 387
190．什么样的四边形有内切圆？ 389
191．如何判定圆与圆的位置关系？ 391
192．什么是定值与最值问题？ 393
十三 正多边形计算、作图及其它 396
193．正多边形外接圆半径与边长、边心距……之间有什么关系？ 396
194．什么是“倍边公式”及怎样应用？ 399
195．正五边形作圆应该怎样证明？ 401
196．什么是代数作图法？ 403
197．命题的四种形式及其关系是什么？ 406
198．怎样判定互为逆否命题是等价命题？ 408
199．怎样求轨迹？ 409
200．什么是交轨法作图？ 411