目录 1
第1章 算法引论与误差分析 1
1.1 计算方法对象与特点 1
1.1.1 什么是计算方法 1
1.1.2 数学与科学计算 1
1.1.3 计算方法与计算机 2
1.1.4 数值问题与算法 3
1.2 数值计算的算法设计与技巧 4
1.2.1 多项式求值的秦九韶算法 4
1.2.2 迭代法与开方求值 5
1.2.3 以直代曲与化整为零 7
1.2.4 加权平均的松弛技术 9
1.3 数值计算的误差分析 10
1.3.1 误差与有效数字 10
1.3.2 函数求值的误差估计 13
1.3.3 误差分析与算法的数值稳定性 14
1.3.4 病态问题与条件数 16
1.3.5 避免误差危害的若干原则 17
评注 18
复习与思考题 18
习题 19
第2章 方程求根的迭代法 21
2.1 方程求根与二分法 21
2.1.1 方程求根与根的隔离 21
2.1.2 二分法 22
2.2 迭代法及其收敛性 24
2.2.1 不动点迭代法与压缩映射原理 24
2.2.2 局部收敛性与收敛阶 28
2.2.3 Aitken加速方法 31
2.3 Newton迭代法 32
2.3.1 Newton法及其收敛性 32
2.3.2 Newton法的应用——开方求值 34
2.3.3 重根情形 35
2.4 Newton法改进与变形 36
2.4.1 简化Newton法（平行弦法） 36
2.4.2 Newton下山法 37
2.4.3 离散Newton法（弦截法） 39
评注 40
复习与思考题 41
习题与实验题 41
第3章 解线性方程组的直接方法 44
3.1 引言 44
3.2 Gauss消去法 45
3.2.1 Gauss顺序消去法 45
3.2.2 消去法与矩阵三角分解 48
3.2.3 列主元消去法 49
3.3 直接三角分解法 51
3.3.1 Doolittle分解法 51
3.3.2 三对角线性方程组的追赶法 53
3.3.3 Cholesky分解与平方根法 55
3.4 向量与矩阵范数 58
3.4.1 向量范数 58
3.4.2 矩阵范数 59
3.5 病态条件与误差分析 62
评注 67
复习与思考题 68
习题与实验题 69
第4章 解线性方程组的迭代法 72
4.1 迭代公式的建立 72
4.1.1 Jacobi迭代法 72
4.1.2 Gauss-Seidel迭代法 73
4.1.3 一般迭代法的构造 74
4.2 迭代法收敛性 76
4.2.1 迭代法的收敛性 76
4.2.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性 78
4.3 超松弛迭代法 82
评注 84
复习与思考题 84
习题与实验题 85
第5章 插值法与最小二乘法 88
5.1 问题提法与多项式插值 88
5.1.1 问题提法 88
5.1.2 多项式插值 89
5.2 Lagrange插值 90
5.2.1 线性插值与二次插值 90
5.2.2 Lagrange插值多项式 92
5.2.3 插值余项与误差估计 93
5.3 Newton插值多项式 97
5.3.1 插值多项式的逐次生成 97
5.3.2 差商及其性质 98
5.3.3 Newton插值多项式 100
5.3.4 差分形式的Newton插值多项式 102
5.4 Hermite插值 103
5.4.1 Newton插值与Taylor插值 103
5.4.2 两个典型的Hermite插值 104
5.5 分段插值与三次样条插值 108
5.5.1 高次插值的缺陷与分段插值 108
5.5.2 三次样条插值 110
5.6 曲线拟合的最小二乘法 115
5.6.1 基本原理 115
5.6.2 线性最小二乘法 117
评注 120
复习与思考题 121
习题与实验题 122
第6章 数值积分 124
6.1 数值积分基本概念 124
6.1.1 定积分与机械求积 124
6.1.2 求积公式的代数精确度 126
6.1.3 求积公式的余项 129
6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 131
6.2 等距节点求积公式 132
6.2.1 Newton-Cotes公式与Simpson公式 132
6.2.2 复合梯形公式与复合Simpson公式 135
6.3 Romberg求积公式 139
6.3.1 复合梯形公式的递推化与加速 139
6.3.2 Simpson公式的加速与Romberg算法 140
6.4 Gauss求积方法 143
评注 147
复习与思考题 148
习题与实验题 149
第7章 常微分方程初值问题差分法 151
7.1 基本理论与离散化方法 151
7.2 Euler法与梯形法 153
7.2.1 Euler法与后退Euler法 153
7.2.2 局部截断误差与收敛性 155
7.2.3 方法的绝对稳定性 156
7.2.4 梯形法与改进Euler法 158
7.3 显式Runge-Kutta法 161
7.3.1 显式Runge-Kutta法的一般形式 161
7.3.2 二级显式Runge-Kutta方法 162
7.3.3 三、四阶的Runge-Kutta方法 164
7.4 线性多步法简介 166
7.4.1 线性多步法的一般公式 166
7.4.2 Adams方法 167
7.4.3 Adams预测-校正方法 171
7.5 一阶方程组与高阶方程 172
评注 174
复习与思考题 175
习题与实验题 176
部分习题答案 178
参考文献 182