第一章 引论 1
1 引言 1
1.1 偏微分方程及其基本概念 1
1.2 数学物理方程的研究对象 4
1.3 数学物理方程的研究内容 7
2 二自变数的二阶线性方程的分类及标准型 9
2.1 方程的化简 9
2.2 方程的分类 14
2.3 例 17
2.4 多自变数的二阶线性方程的分类 19
习题 21
第二章 热传导方程 23
1 热传导方程及其定解问题 23
1.1 热传导方程的导出 23
1.2 定解问题的提法 26
1.3 扩散方程 29
2 混合问题·分离变量法 30
习题 30
2.1 迭加原理 31
2.2 分离变量法 33
2.3 齐次化原理 37
2.4 例 39
习题 42
3 柯西问题 43
3.1 热传导方程的柯西问题 43
3.2 解的验证 45
3.3 基本解 47
3.4 例 48
习题 50
4 极值原理·解的唯一性和稳定性 50
4.1 极值原理 50
4.2 解的唯一性及稳定性 53
习题 55
5 高维热传导方程 55
习题 57
1 弦振动方程及其定解条件 58
1.1 弦振动方程的导出 58
第三章 波动方程 58
1.2 弦振动方程的定解条件 61
习题 62
2 弦振动方程的柯西问题 63
2.1 行波法 63
2.2 达朗贝尔公式 64
2.3 依赖区间、决定区域与影响区域 65
2.4 例 67
2.5 非齐次弦振动方程的柯西问题 68
习题 70
3 弦振动方程的混合问题 71
3.1 能量积分与解的唯一性 71
3.2 解的存在性 73
3.3 非齐次弦振动方程的混合问题 78
习题 79
4 高维波动方程及其定解问题 80
习题 85
5.1 球平均法 86
5 高维波动方程的柯西问题 86
5.2 降维法 91
5.3 非齐次波动方程的柯西问题 93
习题 94
6 波的传播与衰减 95
6.1 三维波动的传播 95
6.2 二维波动的传播 98
6.3 波动方程解的衰减 99
7 能量积分 100
习题 100
7.1 波动方程的混合问题 101
7.2 用能量积分方法证明柯西问题解的唯一性 105
习题 107
第四章 调和方程 109
1 调和方程及其定解问题 109
习题 115
2 格林公式及其应用 116
2.1 格林公式 116
2.2 诺伊曼问题解的自由度及可解条件 117
2.3 基本积分公式 118
2.4 泊松方程 121
2.5 平均值定理与极值原理 123
2.6 狄利克雷问题解的唯一性与稳定性 125
习题 126
3 格林函数及其应用 127
3.1 格林函数的定义及性质 127
3.2 静电源象法 131
3.3 调和方程狄利克雷问题的解 134
3.4 解的验证 136
3.5 二维单连通区域上的格林函数 138
习题 140
4 调和函数的性质 141
习题 148
5 泊松方程 148
习题 153
第五章 二阶线性偏微分方程 155
1 分离变量法的理论基础 155
1.1 方法的回顾 155
1.2 特征值向题 157
1.3 圆形区域上的热传导问题 159
习题 162
2 能量积分法 163
2.1 双曲型方程的能量积分法 163
2.2 抛物型方程的能量积分法 168
2.3 椭圆型方程的能量积分法 169
习题 171
3 基本解 171
3.1 调和方程的基本解 171
3.2 δ函数与基本解 173
3.3 热传导方程的基本解 177
习题 180
4 二阶方程的特征理论 180
4.1 特征概念 180
4.2 特征方程 182
4.3 例 184
习题 186
5 三类方程的比较与归纳 186
5.1 三类方程定解问题提法的比较 187
5.2 二阶椭圆型方程小结 190
5.3 二阶抛物型方程小结 193
5.4 二阶双曲型方程小结 196
习题 199
第六章 一阶对称双曲型方程组 200
1 定义与例子 200
习题 206
2 能量积分与柯西问题解的唯一性 206
习题 211
3 柯西问题解的存在性 212
习题 216
4 混合初边值问题 217
4.1 问题的提法 217
4.2 对于非负边界条件的能量不等式 218
4.3 合格边界条件 220
习题 225
5 一阶拟线性对称双曲组 226
习题 229
1 引言 230
第七章 偏微分方程的广义解和数值解 230
2 调和方程狄利克雷问题的广义解 231
习题 238
3 调和方程狄利克雷问题的数值解 238
3.1 有限差分法 239
3.2 元体平衡法 241
3.3 有限元素法（里茨法） 247
3.4 有限元素法（伽辽金法） 250
习题 252
附录一 傅立叶级数 254
附录二 傅立叶变换 257
附录三 δ函数 261
1 δ函数的概念 261
习题 265
2 δ函数的运算 265
习题 267
3 应用δ函数求基本解 267
习题 270
索引 271