第一章 基本定义 1
1 定义和例 1
2 光滑函数与光滑映射 6
3 子流形和隐函数定理 10
4 技术性的问题 16
参考文献 23
第二章 切丛 25
1 流形的切丛 25
2 内在的描述 30
3 切空间的几何意义 34
4 球面的切丛 36
参考文献 39
第三章 矢量丛 40
1 定义和例 40
2 矢量丛上的运算 49
3 丛的正合序列，分裂和一的分割 56
4 法丛 64
5 仿紧性与一的分割 68
1 方向导数和矢量场 72
第四章 流形上的微分学 72
2 矢量场的几何，积分曲线 76
3 括弧运算和Frobenius定理 81
4 矢量场的拓扑学 92
5 附录 96
参考文献 100
第五章 Lie群 101
1 Lie群的Lie代数 101
2 局部同构，Sophus Lie的基本定理 110
3 指数映射，较深的结果 117
4 Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用 124
5 解析结构和存在性定理 136
6 单连通Lie群 140
参考文献 142
第六章 微分形式 143
1 引言 143
2 函数的微分与一次微分形式 145
3 外代数的概述 152
4 高次微分形式 158
5 其它问题 171
参考文献 176
第七章 积分 177
1 引言 177
2 单形 177
3 矢量空间中的积分 187
4 流形上的积分 199
5 应用 206
参考文献 216
第八章 de Rham定理 217
1 例和概述 217
2 奇异同调和de Rham定理 225
3 单纯形同调 230
4 de Rham定理的证明 237
5 复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲 243
参考文献 252
第九章 同调理论 253
1 一般的代数知识 253
2 正合性 265
3 同伦，单形逼近 269
4 切断和Mayer-Vietoris序列 278
5 应用 290
6 CW复形和进一步的计算 296
参考文献 307
第十章 上同调 308
1 引言 308
2 Pontrjagin对偶性 310
3 乘积空间和Künneth公式 314
4 “上”积(Cup Product)与“卡”(Cap Product) 321
5 Thom同构定理 330
6 Hopf不变量 337
第十一章 Poincaré对偶性 344
1 引言 344
2 基本类 346
3 Poincaré对偶定理 355
4 Thom-Pontrjagin构造 364
5 相交理论 373