目次 1
第四讲 实数与极限 1
一、实数的公理化 1
1.1 实数公理 1
1.2 从公理推出的一些基本性质 3
1.3 实数的稠密性与连续性定理 5
1.4 自然数与归纳原理 8
习题一 12
二、点集与极限 13
2.1 欧氏空间 13
2.2 开集与闭集 17
2.3 扩充的实直线与复平面 19
2.4 点函数的极限 22
2.5 极限的运算与中间极限定理 29
2.6 复合函数的极限 34
习题二 35
三、极限的几个基本定理 38
3.1 单调有界数列定理 38
3.2 聚点定理 43
3.3 子数列定理 45
3.4 阿基米德性质与柯西定理 46
3.5 阿基米德性质与康脱定理 51
3.6 上面几个定理与实数连续公理的等价性 55
习题三 57
第五讲 连续与导数 59
一、连续函数 59
1.1 点函数的连续 59
1.2 连续函数的运算与复合 61
1.3 函数的不连续 62
1.4 连续函数的性质 65
1.5 反函数的连续性 70
1.6 一致连续 72
二、初等函数的连续性 76
2.1 无理指数幂 76
2.2 指数函数的连续性 77
2.3 对数函数与实指数幂函数的连续性 79
2.4 初等函数的连续性 80
习题一 80
三、一元实函数的导数 82
3.1 导数的意义 82
3.2 求导数的法则 86
3.3 中值定理 92
3.4 高阶导数与代劳（Taylor）定理 95
3.5 局部极值的判定 98
3.6 压缩函数与迭代原理 101
习题二 104
4.1 二元实函数的偏导数 107
四、二元实函数与复函数的导数与微分 107
4.2 一元与二元实函数的微分 110
4.3 复函数及其导数 116
4.4 复初等函数及其导数 121
习题三 125
第六讲 积分 127
一、一元实函数的不定积分 127
1.1 不定积分的意义与法则 127
1.2 换元与分部积分法 130
1.3 有理函数的积分法 134
1.4 可有理化的积分 139
习题一 145
二、一元实函数的定积分 148
2.1 定积分的定义与存在 148
2.2 定积分的性质与中值定理 152
2.3 定积分与不定积分 156
2.4 定积分的应用 161
习题二 172
三、二元实函数与复函数的积分 175
3.1 域 175
3.2 约当测度 176
3.3 二重积分的定义与存在 181
3.4 二重积分的性质 182
3.5 二重积分的计算 185
3.6 变力作功与曲线积分 192
3.7 曲线积分的存在与计算 195
3.8 复函数的积分 199
习题三 204
〔附录〕部份分数理论 207
第七讲 级数 212
一、数项级数 212
1.1 基本概念与基本性质 212
1.2 级数的敛散判别法 221
1.3 无穷积分与级数判别 233
1.4 级数的运算 237
1.5 复数项级数 247
习题一 250
二、函数项级数 253
2.1 函数项级数及其一致收敛 253
2.2 一致收敛级数的性质 258
习题二 263
三、幂级数 264
3.1 幂级数及其敛散 264
3.2 幂级数的一致收敛及其性质 269
3.3 函数展开为幂级数 275
3.4 复指数函数 280
3.5 幂级数在中学数学的应用 282
习题三 294
〔附〕习题解答 297