第1章 计算物理学和计算材料科学 1
1.0 绪论 1
1.1 计算物理学的起源与发展 1
1.2 计算物理学的特点和方法 2
1.3 计算物理学的进展 5
1.4 计算材料科学 6
1.4.1 分子动力学的发展历程 7
1.4.2 蒙特卡洛方法及其发展历程 8
参考文献 9
第2章 误差理论 10
2.1 误差的基本概念 10
2.1.1 准确值，误差限，真值，期望值和平均值 10
2.1.2 误差的具体类型 11
2.1.3 有效数与可靠数 11
2.2 随机误差 12
2.2.1误差分布函数 12
2.2.2 随机误差的特点 13
2.2.3 随机误差的估算 13
2.3 误差传递公式 15
2.3.1 单变量误差的传递 16
2.3.2 多变量误差的传递 16
2.3.3 标准误差的传递公式 16
2.3.4 关于测量数列算术平均值的标准误差 17
2.4 计算机中的数值运算 18
2.4.1 整数 18
2.4.2 浮点数表示及误差 18
2.4.3 计算函数值的坏条件判别法 18
2.4.4 保证计算数值稳定的原则 19
2.5 矩阵运算中的误差问题 20
2.5.1 矩阵的条件数 20
2.5.2 线性方程组解的相对误差 20
参考文献 22
第3章 数值计算概要 23
3.1 范数与谱半径 23
3.1.1 范数的定义 23
3.1.2 矩阵的谱半径 24
3.2 线性方程组的解法 24
3.2.1 矩阵求逆法 24
3.2.2 选主元的三角分解法 25
3.3 矩阵的特征值问题 27
3.3.1 矩阵折叠法求本征值 28
3.3.2 实对称矩阵的雅克比对角化变换法 30
3.3.3 特征值的敏感性 33
3.4 矩阵的镜象变换法 34
3.4.1 镜象变换法 34
3.4.2 实对称三对角矩阵的本征值 36
3.5 曲线插值法 37
3.5.1 抛物型插值法的拉格朗日公式 37
3.5.2 抛物型插值法的牛顿公式 38
3.6 最佳一致逼近 39
3.6.1 切比雪夫多项式 39
3.6.2 最佳平方逼近 39
3.6.3 最小二乘法 42
3.6.4 正交多项式逼近 42
3.7 差分和差商运算 47
3.7.1 差分算子 47
3.7.2 差商公式 48
3.8 积分运算 49
3.8.1 多项式逼近的数值积分公式 49
3.8.2 高斯数值积分法 51
3.9 迭代运算 54
3.9.1 直接迭代法 54
3.9.2 牛顿迭代法 54
3.9.3 弦截法 55
3.10 微分方程的数值解法 56
3.10.1 Numerov法 56
3.10.2 龙格-库塔法 56
3.10.3 高阶微分方程和一阶微分方程组的龙格-库塔法求解 57
参考文献 58
第4章 分子动力学运动方程解法 59
4.1 理论力学原理 60
4.1.1 最小作用量原理 60
4.1.2 拉格朗日（Lagrange）方程 61
4.1.3 哈密顿（Hamilton）方程 63
4.1.4 哈密顿（Hamilton）量与半经典量子化计算 64
4.2 粒子与粒子系综 67
4.2.1 相互作用的多粒子系综 67
4.2.2 粒子互作用模型的平衡统计性质——热力学性质的时间平均 68
4.3 粒子系统运动方程的数值解法 69
4.3.1 边界条件 69
4.3.2 Verlet算法 70
4.3.3 Gear算法 71
4.4 Gear预测-矫正方法 71
4.4.1 表象表示法 71
4.4.2 表象变换 72
4.4.3 预测-矫正法（predictor-corrector） 73
4.5 几种算法的比较 76
4.5.1 Verlet算法 76
4.5.2 跳蛙式算法 77
4.5.3 Beeman算法 77
4.5.4 比较几种算法的精度 78
4.6 复合函数算法 79
4.6.1 第一型算法 80
4.6.2 第二型算法 80
4.7 高阶综合矫正复合函数算法 82
4.7.1 第一型推广算法 82
4.7.2 第二型推广算法 84
4.7.3 第三型推广算法 85
4.7.4 第四型推广算法 86
4.7.5 第五型推广算法 89
4.7.6 更高阶预测公式 92
参考文献 93
第5章 计算机模拟的粒子系综 94
5.1 微正则系综（E,V,N） 95
5.1.1 计算热力学量 95
5.1.2 运动方程组的建立 97
5.1.3 数值求解的具体实施 98
5.2 正则系综（N,V,T） 100
5.2.1 正则系综的原理 100
5.2.2 正则系综分子动力学算法 102
5.2.3 正则系综与微正则系综的区别 104
5.3 等温等压系综（N,P,T） 105
5.3.1 等温扩展法 105
5.3.2 等压扩展法 106
5.4 体积可变的等焓等压（H,P,N）系综 107
5.4.1 晶胞结构矩阵与矢量的建立 108
5.4.2 仅有均匀恒压的情况 108
5.4.3 系统受到外部胁强时的一般情况 109
5.5 新恒压分子动力学模型 110
5.5.1 分子系统的运动方程 110
5.5.2 分子系统的守恒定律 112
5.5.3 对称的晶胞矢量h约束下的运动方程 113
5.5.4 受约束动力学晶胞的运动方程 115
5.6 自由能的计算和其他系综 117
5.6.1 巨正则系综 118
5.6.2 Gibbs系综 119
5.6.3 半巨系综 119
5.7 非平衡系综动力学 120
5.7.1 输运过程 120
5.7.2 非平衡分子动力学模拟（NEMD） 120
5.7.3 非平衡分子动力学在线性谐振子上的应用 122
5.7.4 自扩散算法 123
参考文献 124
第6章 势函数理论与模型 125
6.1 势函数发展简介 125
6.1.1 原子间相互作用势的发展概况 126
6.1.2 构成分子的原子间势 127
6.1.3 固体中的对势模型 127
6.1.4 多体势 129
6.2 半经验势 129
6.2.1 长程势 129
6.2.2 短程势 130
6.3 经验势 131
6.4 赝势模型 132
6.4.1 等效势概念 133
6.4.2 电子密度和赝密度 134
6.4.3 离子赝势 134
6.5 共价和离子晶体中的原子间互作用势 135
6.5.1 二体加三体势（团簇势） 136
6.5.2 Abell势模型 137
6.5.3 Tersoff势模型 138
6.5.4 KD势模型 139
6.5.5 分子间势模型 140
6.5.6 电子气势模型 141
6.6 紧束缚势模型和密度泛函理论 143
6.6.1 密度泛函理论 143
6.6.2 态密度和带能 147
6.6.3 紧束缚近似 148
6.6.4 能矩和二次矩 148
6.6.5 过渡金属和合金的紧束缚势 150
6.7 分子动力学和密度泛函理论的统一方法 151
6.7.1 第一性原理分子动力学方法 152
6.7.2 多原子体系动力学——C-P运算方法 154
6.8 固体、分子经验电子理论及相关势函数 162
6.8.1 固体、分子经验电子理论 162
6.8.2 过渡金属和合金的结合能公式 164
6.8.3 碱金属和碱土金属的Morse势函数模型 167
6.8.4 固体中Lennard-Jones型势函数的谢氏模型 168
6.8.5 谢氏势函数模型的改进型 172
6.8.6 基于“经验电子理论”的势函数模型的特点及存在的困难 174
参考文献 174
第7章 金属中的嵌入势模型 177
7.1 嵌入原子法 177
7.1.1 嵌入原子法基本原理 178
7.1.2 晶体结合能公式 178
7.1.3 由结合能导出的力学性质公式 178
7.1.4 排斥势函数和电子密度函数 179
7.1.5 有效电荷及嵌入能函数 180
7.1.6 作用在每个原子上的合力 181
7.1.7 表面能计算公式 181
7.1.8 采用Rose普适方程的嵌入势函数拟合法 181
7.1.9 嵌入原子法的理论推导简介 182
7.1.10 金属合金中的原子间相互作用势 183
7.2 分析型EAM模型 183
7.2.1 Johnson的分析型EAM模型 184
7.2.2 EAM模型的改进 185
7.2.3 改进的普适分析型EAM模型 185
7.2.4 分析型EAM模型的应用与展望 187
7.3 Finnis Sinclair经验势函数 188
7.3.1 Finnis-Sinclair（F-S）模型 188
7.3.2 Finnis-Sinclair模型的改进型 189
7.3.3 Finnis-Sinclair模型的样条函数结构 190
7.3.4 弹性形变和间隙原子能 190
7.4 HCP结构金属的嵌入势模型 191
7.4.1 金属Zr的分析型EAM模型 192
7.4.2 HCP结构金属的分析型F-S模型 194
7.4.3 金属Zr的分析型F-S模型 196
7.4.4 晶格振动问题 196
7.4.5 HCP结构金属的非球对称模型 197
7.4.6 考虑到内弹性常数的HCP结构金属的分析型模型 200
7.5 合金材料中的势函数 207
7.5.1 Johnson对势函数的解析形式 208
7.5.2 Ackland的F-S合金势模型 210
7.5.3 F-S合金势模型用于金属间化合物的研究实例 212
7.5.4 金属间化合物的EAM势模型 217
7.6 Rose普适理论 219
7.6.1 能量和原子间距之间的普适关系 219
7.6.2 普适关系函数 221
参考文献 224
第8章 Monte Carlo方法 226
8.1 MC方法的基本思想 226
8.1.1 Buffon试验 226
8.1.2 随机事件的概率定义 227
8.1.3 马尔可夫（Markov）过程 228
8.1.4 大数定理和中心极限定理 228
8.2 伪随机数的产生和检验 229
8.2.1 产生随机数的方法 230
8.2.2 伪随机数的随机性检验 231
8.3 给定分布的随机数抽样方法 232
8.3.1 离散型随机变量的直接抽样 233
8.3.2 连续分布的随机变量抽样 234
8.3.3 Metropolis抽样法 241
8.4 微正则系综MC方法 244
8.5 正则系综MC方法 246
8.5.1 跃迁概率 246
8.5.2 正则系综的MC模拟法 247
8.6 等温等压系综MC方法 248
8.7 巨正则系综MC方法 249
8.7.1 巨正则系综MC算法之一 249
8.7.2 巨正则系综MC算法之二 250
参考文献 251
第9章 Monte Carlo方法的应用 252
9.1 MC方法在数值计算中的应用 252
9.1.1 计算定积分 252
9.1.2 解非线性方程组 256
9.1.3 解微分方程 257
9.2 Ising模型 258
9.2.1 磁性材料 259
9.2.2 二元合金 261
9.2.3 Heisenberg连续自由度Ising模型 261
9.3 自由能的计算 263
9.3.1 正则系综自由能的计算 263
9.3.2 二元系金属模型自由能的计算 265
9.3.3 计算任意固体的自由能及其在刚球fcc和hcp相中的应用 266
9.3.4 有相互作用力的Einstein晶体自由能 270
9.4 MC在三维组织和模拟辐射屏蔽中的应用 271
9.4.1 用MC方法模拟材料三维组织及其演变 271
9.4.2 用MC方法求解辐射屏蔽问题 273
参考文献 279
第10章 计算程序设计方法 280
10.1 晶胞结构设计 280
10.1.1 坐标变换方法 281
10.1.2 HCP晶胞结构程序设计 281
10.2 周期性边界条件的程序设计 284
10.3 分子动力学计算程序设计 286
10.3.1 预测矫正法程序设计 286
10.3.2 原子系综的分子动力学程序设计 290
10.4 METROPOLIS抽样算法 292
参考文献 292
附录 293
附录1 可以演示的几个计算程序 293
例1 双原子分子在相空间中的量子轨道和能级 293
例2 监测各次扫描之间可观察量的关联 297
例3 计算氢分子内聚能的程序 303
例4 利用局域自旋密度近似法计算氢原子有效势的程序 305
例5 利用四面体法计算状态密度 306
例6 用EAM法计算铜的原子内聚能和空位形成能 309
例7 sp3杂化轨道间交叠积分的计算 312
附录2 物理学常数 315
附表1 物理学常数 315
附表2 用于低能分子动力学的通用单位 316