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第一篇 复变函数论 2
第一章 复变函数 2
1 复平面上的点集 区域 2
2 复变函数的概念 7
3 复变函数的极限与连续 10
习题一 15
第二章 解析函数 17
1 复变函数的导数 17
2 解析函数 20
3 调和函数 26
4 初等函数 31
5 平面场的复势 38
习题二 44
1 复变函数积分的概念 48
第三章 复变函数的积分 48
2 积分的基本性质 53
3 柯西(Cauchy)定理 54
4 原函数 56
5 复合闭路定理 58
6 柯西积分公式 62
7 解析函数的高阶导数 66
习题三 70
第四章 级数 73
1 复数项级数 73
2 幂级数 75
3 泰勒(Taylor)级数 84
4 罗朗(Laurent)级数 90
习题四 97
第五章 留数 99
1 孤立奇点 99
2 函数的零点与极点的关系 102
3 在无穷远点邻域的讨论 105
4 留数 107
5 在无穷远点处的留数 113
6 留数在定积分计算上的应用 115
习题五 124
第六章 保角映射 126
1 保角映射的概念 126
2 几种简单的映射 130
3 分式线性映射 133
4 几个典型的分式线性映射 136
5 幂函数与根式函数所构成的映射 146
6 指数函数与对数函数所构成的映射 150
习题六 153
第七章 拉普拉斯变换 158
1 拉普拉斯变换的概念 158
第二篇 积分变换 158
2 单位脉冲函数及其拉氏变换 162
3 拉氏变换的性质 164
4 拉氏逆变换 175
5 卷积 178
6 拉氏变换在解常微分方程中的应用 181
习题七 183
第八章 傅里叶(Fourier)变换 186
1 傅里叶积分 186
2 傅里叶变换 189
3 傅氏变换的性质 195
4 卷积 197
习题八 200
第三篇 特殊函数 204
第九章 Г函数和B函数 204
1 Г函数 204
2 B函数 209
习题九 211
第十章 线性常微分方程级数解法 212
1 常点邻域的级数解法 212
2 正则奇点邻域的级数解法 219
习题十 225
第十一章 贝塞尔(Bessel)函数 227
1 贝塞尔函数与第二、三类贝塞尔函数 227
2 递推公式--不同阶贝塞尔函数的关系 232
3 贝塞尔函数的零点 235
4 函数的傅里叶-贝塞尔级数展开 236
5 变形的贝塞尔函数 243
6 可化为贝塞尔方程的微分方程 247
习题十一 248
第十二章 勒让德(Legendre)多项式 251
1 勒让德多项式的定义 251
2 母函数与递推公式 255
3 正交性 傅里叶-勒让德级数 259
4 缔合勒让德多项式 262
习题十二 265
第四篇 数学物理方程 270
第十三章 数学物理方程定解问题 270
1 典型方程的推导 270
2 定解条件的推导 280
3 定解问题的提法及适定性概念 287
4 偏微分方程的解与线性定解问题解的叠加原理 290
习题十三 296
第十四章 分离变量法 299
1 直角坐标系下的分离变量法 300
2 极坐标系下位势方程边值问题的分离变量法 316
3 离维方程混合问题及边值问题的分离变量法 324
4 斯图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题 345
习题十四 353
第十五章 二阶线性偏微分方程的分类与化简 359
1 两个自变量的二阶线性方程 359
2 多个自变量的二阶线性方程的分类与化简 368
3 常系数二阶线性方程的化简 372
习题十五 375
第十六章 行波法 377
1 行波法的基本概念 378
2 其他定解问题 波的反射 386
3 高维波动方程的初值问题 393
4 非齐次波动方程初值问题 推迟势 404
习题十六 409
第十七章 拉普拉斯方程的格林函数法 413
1 格林公式 调和函数的基本性质 413
2 格林函数 418
3 用电象法求几种特殊区域的格林函数 421
4 保角变换方法对二维狄氏问题的应用 426
习题十七 435
第十八章 积分变换法 437
1 无穷区间的固有值问题 437
2 傅里叶变换解题方法 积分变换解题的程序 441
3 用积分变换法解题举例 444
习题十八 460
附录 场论的基本概念 正交曲线坐标系中的调和量 463
一、场的概念 463
二、数量场的梯度 464
三、矢量场的散度和旋度 466
四、算子、梯度、散度、旋度及调和量在正交曲线坐标系中的表示式 470
五、有势场与调和场 473
六、平面调和场 474
附表 476
习题答案 483