第一篇 复变函数论 1
第一章 复数与复变函数 2
第一节 复数 2
1.1.1 复数域 2
1.1.2 复平面 3
1.1.3 复数的模与幅角 4
1.1.4 复数的乘幂与方根 6
第二节 复变函数的基本概念 8
1.2.1 区域与约当曲线 8
1.2.2 复变函数的概念 11
1.2.3 复变函数的极限与连续性 13
第三节 复球面与无穷远点 15
1.3.1 复球面 15
1.3.2 闭平面上的几个概念 16
习题 16
2.1.1 导数的定义 19
第一节 解析函数的概念及哥西--黎曼条件 19
第二章 解析函数 19
2.1.2 哥西-黎曼条件 20
2.1.3 解析函数的定义 24
第二节 解析函数与调和函数的关系 24
2.2.1 共轭调和函数的求法 24
2.2.2 共轭调和函数的几何意义 26
第三节 初等解析函数 28
2.3.1 初等单值函数 28
2.3.2 初等多值函数 31
习题 36
第三章 哥西定理 哥西积分 39
第一节 复变积分的概念及其简单性质 39
3.1.1 复变积分的定义及其计算方法 39
3.1.2 复变积分的简单性质 42
第二节 哥西积分定理及其推广 43
3.2.1 哥西积分定理 43
3.2.2 不定积分 44
3.2.3 哥西积分定理推广到复围线的情形 46
第三节 哥西积分公式及其推广 49
3.3.1 哥西积分公式 49
3.3.2 解析函数的无限次可微性 51
3.3.3 模的最大值原理 哥西不等式 刘维尔定理 摩勒纳定理 53
第四节 解析函数在平面场中的应用 55
3.4.1 什么叫平面场 55
3.4.2 复位势 55
3.4.3 举例 57
习题 61
第四章 解析函数的幂级数表示 64
第一节 函数项级数的基本性质 64
4.1.1 数项级数 64
4.1.2 一致收敛的函数项级数 66
第二节 幂级数与解析函数 70
4.2.1 幂级数的敛散性 70
4.2.2 解析函数的幂级数表示 74
第三节 罗朗级数 79
4.3.1 双边幂级数的收敛圆环 79
4.2.2 解析函数的罗朗展开 80
4.2.3 罗朗展式举例 83
第四节 单值函数的孤立奇点 87
4.4.1 孤立奇点的三种类型 87
4.4.2 可去奇点 88
4.4.3 极点 89
4.4.4 本性奇点 91
4.4.5 解析函数在无穷远点的性质 91
习题 94
第五章 残数及其应用 97
第一节 残数 97
5.1.1 残数的定义及残数定理 98
5.1.2 残数的求法 99
5.1.3 无穷远点的残数 102
第二节 利用残数计算实积分 104
5.2.1 ？R(cosθ,sinθ)dθ的计算 105
5.2.2 ？f(x)dx的计算 107
5.2.3 实轴上有奇点的情形 112
5.2.4 其他例子 113
习题 118
第六章 保角为换 121
第一节 解析变换的特性 121
6.1.1 单叶变换 121
6.1.2 解析函数的保角性 122
6.1.3 拉普拉斯算符的为换 124
第二节 线性变换 126
6.2.1 几种最简单的保角变换 126
6.2.2 线性变换 127
6.2.3 线性变换的保圆周性 129
6.2.4 线性变换的保对称点性 129
6.2.5 线性变换的应用 131
第三节 某些初等函数所构成的变换 133
6.3.1 幂函数与根式函数 133
6.3.2 指数函数与对数函数 135
习题 139
第二篇 数学物理方程 141
第七章 一维波动方程的付氏解 142
第一节 一维波动方程--弦振动方程的建立 142
7.1.1 弦振动方程的建立 142
7.1.2 定解条件的提出 144
第二节 齐次方程混合问题的付里叶解法(分离变量法，驻波法) 146
7.2.1 利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题 146
7.2.2 付氏解的物理意义 152
第三节 电报方程 154
第四节 强迫振动 非齐次方程的求解 156
习题 159
第一节 热传导方程和扩散方程的建立 163
8.1.1 热传导方程的建立 163
第八章 热传导方程的付氏解 163
8.1.2 扩散方程的建立 165
8.1.3 定解条件 167
第二节 混合问题的付氏解法 168
第三节 初值问题的付氏解法 170
8.3.1 付氏积分 170
8.3.2 利用付氏积分解热传导方程的初值问题 172
8.3.3 付氏解的物理意义 175
8.4.1 定解问题的解 178
第四节 一端有界的热传导问题 178
8.4.2 举例 180
8.4.3 杜赫美原则 184
习题 187
第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解 190
第一节 圆的狄利克雷问题 190
9.1.1 定解问题的提法 190
9.1.2 付氏解 191
9.2.1 δ函数的引入 195
第二节 δ函数 195
9.2.2 δ函数的性质 196
9.2.3 把δ函数看作是弱收敛函数序列的弱极限 197
9.2.4 高维空间中的δ函数及δ函数的其他性质 200
习题 201
第十章 波动方程的达朗贝尔解法 204
第一节 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法 204
10.1.1 达朗贝尔解的推出 204
10.1.2 达朗贝尔解的物理意义 206
10.1.3 举例 207
10.1.4 依赖区间 决定区域和影响区域 209
第二节 高维波动方程 211
10.2.1 三维波动方程的初值问题 211
10.2.2 降维法 213
10.2.3 解的物理意义 214
10.2.4 地震波 216
10.3.1 非齐次波动方程的哥西问题 217
第三节 非齐次波动方程 推迟势 217
10.3.2 非线性方程 219
习题 220
第十一章 数学物理议程的解的积分公式 224
第一节 格林公式 调和函数的基本性质 224
11.1.1 球对称解 224
11.1.2 格林公式 225
第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷问题 232
11.2.1 边值问题的提法 232
11.2.2 球的狄利克雷问题 233
11.1.3 调和函数的基本性质 236
11.2.3 狄利克雷外问题 237
第三节 格林函数 238
11.3.1 格林函数的定义 238
11.3.2 举例 241
11.3.3 格林函数的对称性 243
11.3.4 保角变换法 245
第四节 泊松方程 246
11.4.1 泊松方程的导出 246
11.4.2 泊松方程的狄利克雷问题 247
习题 249
第十二章 定解问题的适定性 251
第一节 弦振动方程的初值问题的适定性 252
第二节 弦振动方程混合问题的适定性 253
12.2.1 解的存在性 253
12.2.2 能量积分和解的唯一性 256
第三节 狄利克雷问题的适定性 259
12.3.1 解的唯一性 259
12.3.2 解的稳定性 259
第四节 热传导方程混合问题的适定性 260
12.4.1 极值原理 260
12.4.2 解的唯一性 262
第五节 热传导方程初值问题的适定性 263
12.5.1 解的唯一性和稳定性 263
12.4.3 解的稳定性 263
12.5.2 解的存在性 265
第六节 拉普拉斯方程狄利克雷问题的解的唯一性 267
12.6.1 三维空间狄利克雷外问题解的唯一性 267
12.6.2 二维空间狄利克雷外问题解的唯一性 268
第七节 定解问题不适定之例 269
12.7.1 不适定问题举例 269
12.7.2 对不适定问题的研究 271
12.8.1 关于定解问题的提法 273
第八节 三类方程的比较 273
12.8.2 关于解的性质 274
12.8.3 关于时间的反演 275
习题 277
第十三章 付里叶变换 279
第一节 付氏变换的定义及其基本性质 279
13.1.1 付氏变换的定义 279
13.1.2 付氏变换的基本性质 280
13.1.3 n维付氏变换 282
13.1.4 δ函数的付氏变换 283
第二节 用付氏变换解数理方程举例 284
第三节 基本解 286
13.3.1 基本解的物理意义 286
13.3.2 基本解的定义 288
13.3.3 非定常非齐次方程的基本解 295
习题 297
14.1.1 付氏变换与拉氏变换 298
第一节 拉普拉斯变换的定义和它的逆变换 298
第十四章 拉普拉斯变换 298
14.1.2 拉氏变换的定义 299
14.1.3 拉氏变换的存在定理和反演定理 300
第十七章 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 300
第二节 拉普拉斯变换的基本性质及其应用举例 303
第三节 展开定理 315
14.3.1 展开定理 315
14.3.2 用反演公式解数理方程举例 317
习题 321
第三篇 特殊函数 324
15.1.1 勒让德微方程的导出 325
第十五章 勒让德多项式 球函数 325
第一节 勒让德微分方程及勒让德多项式 325
15.1.2 幂级数解和勒让德多项式的定义 327
15.1.3 勒让德多项式的微分表达式--洛德利格公式 333
15.1.4 勒让德多项式的施列夫利积分表达式 333
第二节 勒让德多项式的母函数及其递推公式 334
15.2.1 勒让德多项式的母函数 334
15.2.2 勒让德多项式的递推公式 336
第三节 按勒让德多项式展开 338
15.3.1 勒让德多项式的正交性 338
15.3.2 勒让德多项式的归一性 338
15.3.3 展开定理的叙述 340
第四节 连带勒让德多项式 341
15.4.1 连带勒让德多项式的定义 341
15.4.2 连带勒让德多项式的正交性和归一性 342
第五节 拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题 343
15.5.1 利用连带勒让德多项式P？(x)得出方程(15.1)？的解 343
15.5.2 确定出定解问题(15.1)？和(15.2)？的解 344
公式表 345
习题 347
第十六章 贝塞耳函数 柱函数 349
第一节 贝塞耳微分方程及贝塞耳函数 349
16.1.1 贝寒耳微分方程的导出 349
16.1.2 幂级数解和贝塞耳函数的定义 350
第二节 贝寒耳函数的母函数及其递推公式 354
16.2.1 贝塞耳函数的母函数 354
16.2.2 贝寒耳函数的积分表达式 355
16.2.3 贝寒耳函数的递推公式 356
16.2.4 半奇数阶贝塞耳函数 357
第三节 按贝塞耳函数展开 359
16.3.1 贝塞耳函数的零点 360
16.3.2 贝塞耳函数的正交性 361
16.3.4 展开定理的叙述 362
16.3.3 贝塞耳函数的归一性 362
16.3.5 圆膜振动问题 363
第四节 第二和第三类贝塞耳函数 365
16.4.1 第二类贝塞耳函数 365
16.4.2 第三类贝塞耳函数 367
16.4.3 球贝塞耳函数 368
第五节 变形(或虚变量)贝塞耳函数和贝塞耳函数的渐近公式 370
16.5.1 变形贝塞耳函数 370
16.5.2 贝塞耳函数的渐近公式 372
16.5.3 可以化为贝塞耳方程的微分方程 374
公式表 374
习题 377
第一节 埃尔米特多项式 380
17.1.1 埃尔米特微分方程的导出 380
17.1.2 幂级数解和埃尔米特多项式的定义 381
17.1.3 埃尔米特多项式的母函数 382
17.1.4 埃尔米特多项式的正交性和归一性 383
第二节 拉盖尔多项式 384
17.2.1 拉盖尔微分方程的导出 384
17.2.2 幂级数解和拉盖尔多项式的定义 385
17.2.3 拉盖尔多项式的母函数 386
17.2.4 拉盖尔多项式的正交性和归一性 387
第三节 特征值和特征函数 388
17.3.1 特征值和特征函数的概念 388
17.3.2 特征值和特征函数的性质 389
17.3.3 斯图谟-刘维尔型微分方程边值问题的例子 389
习题 391
附录 392
付里叶变换表 392
拉普拉斯变换表 393
中国人名表 396