第一章 准备知识 1
1 欧氏空间的映射 1
1.1 映射的微分 链规则 1
1.2 反函数定理 6
1.3 秩定理 13
1.4 Sard定理 16
2 多重线性代数 17
2.1 向量空间 对偶空间 17
2.2 张量积 张量代数 20
2.3 对称和反(对)称张量 26
2.4 外代数 30
2.5 欧氏向量空间 37
习题 40
第二章 微分流形 43
1 微分流形的基本概念 43
1.1 微分流形的定义 43
1.2 实射影空间Pm(R) Grassmann 流形 47
1.3 流形的映射 52
1.4 浸入与淹没 子流形 55
1.5 单位分解 65
习题 68
2 向量场 70
2.1 切空间 切映射 70
2.2 切丛 向量场 76
2.3 单参数变换群 83
2.4 分布 Frobenius 定理 叶状结构 90
习题 95
3.1 张量场 97
3 张量场 97
3.2 外微分 100
3.3 黎曼度量 111
习题 116
4 流形上的积分 Stokes定理 118
4.1 流形的定向 118
4.2 带边界流形 121
4.3 流形上的积分 Stokes定理 126
习题 132
1 仿射联络 135
1.1 Rm及其子流形上的联络 135
第三章 联络与曲率 135
1.2 微分流形上的仿射联络 138
1.3 仿射联络的挠率和曲率 141
习题 146
2 黎曼联络 147
2.1 黎曼联络 147
2.2 共变微分 153
习题 161
3 曲率 164
3.1 曲率张量 164
3.2 截面曲率 Ricci曲率 纯量曲率 170
3.3 共形变换 177
习题 182
4.1 Hodge星算子 184
4 调和形式 184
4.2 Laplace-Beltrami算子 190
4.3 Hodge定理及其几何应用 197
习题 203
第四章 测地线 204
1 测地线与测地完备性 204
1.1 测地线与指数映射 法坐标系 204
1.2 测地完备性 214
习题 219
2 弧长的变分 221
2.1 弧长的变分 221
2.2 Jacobi场 226
2.3 共轭点 231
习题 237
3 曲率与拓扑 238
3.1 指标引理 Myers定理 238
3.2 非正曲率流形的Hadamard定理 244
习题 248
4 比较定理 249
4.1 Hessian比较定理 249
4.2 Laplacian比较定理 255
4.3 体积比较定理 260
习题 266
第五章 黎曼子流形 268
1 子流形的基本公式 268
1.1 等距浸入 268
1.2 基本方程 273
1.3 活动标架法 276
1.4 常曲率空间的子流形 279
习题 281
2 超曲面 282
2.1 超曲面的基本公式及其应用 282
2.2 主曲率 287
2.3 欧氏空间的超曲面 293
习题 300
3 极小子流形 302
3.1 体积的变分 302
3.2 欧氏空间的极小子流形 309
3.3 球面上的极小子流形 312
3.4 Simons不等式 316
习题 320
4 全绝对曲率与Gauss映射 322
4.1 Lipschitz-Killing曲率 322
4.2 全绝对曲率 327
4.3 Gauss映射 331
4.4 Gauss映射的调和性 334
习题 336
附录Ⅰ 常微分方程组存在定理 338
附录Ⅱ Sard定理 344
附录Ⅲ 黎曼淹没 348
附录Ⅳ 广义极大原理 355
参考文献 360
索引 362