绪论 1
第一章 复变函数 4
1.1 复数及其运算规则 4
一、复数的概念 4
二、复数的基本运算规则 5
三、复数的几何表示 6
四、复数的三角表示式和指数表示式 7
五、无穷远点和复数球面 11
1.2 复变函数 12
一、复变函数的概念 12
二、极限与连续 15
三、导数 C—R条件 17
1.3 解析函数 21
一、解析函数 21
二、解析函数与调和函数的关系 23
1.4 复变初等函数 28
一、实变初等函数的推广 28
二、幂函数 29
三、指数函数 29
四、三角函数 30
五、双曲函数 32
七、对数函数 38
八、任意幂函数 40
1.5 保角映射的基本概念 41
一、解析函数的导数的几何意义 41
二、保角映射 43
本章小结 44
习题 45
一、复变函数积分的概念 48
第二章 复变函数的积分 48
2.1 复变函数积分的概念及基本性质 48
二、复变函数积分的基本性质 49
2.2 柯西定理 53
一、单连通区域的柯西定理 53
二、复连通区域的柯西定理 59
2.3 柯西积分公式 61
一、柯西积分公式 61
二、解析函数的高阶导数 62
本章小结 66
习题 67
第三章 解析函数的级数展开 70
3.1 级数的基本概念 70
一、复数项级数 70
二、复变函数项级数 73
3.2 幂级数 75
一、幂级数的敛散性质 75
二、幂级数敛散性的判定 收敛半径公式 76
三、幂级数的和函数的解析性 81
二、泰勒展开的唯一性 84
三、泰勒级数的收敛半径 85
四、解析函数的零点 85
五、常见初等函数的泰勒展开 86
3.4 解析函数的罗朗展开 92
一、罗朗展开 92
二、罗朗展开的唯一性 95
三、主部和正则部 96
一、孤立奇点及其分类 102
3.5 孤立奇点的分类及其性质 102
二、在孤立奇点附近函数的性质 103
三、无穷远点 107
3.6 解析开拓 111
一、解析开拓 111
二、Γ函数的解析开拓 113
本章小结 115
习题 116
第四章 留数定理及其应用 119
4.1 留数和留数定理 119
一、留数的概念 119
二、留数定理 120
三、留数的计算 122
二、类型一 I=∫2π0R(cosx，sinx)dx 130
一、实变函数的定积分与复变函数的围道积分 130
4.2 应用留数定理计算实变函数的定积分 130
三、几个重要的引理 132
四、类型二 I=∫∞-∞f(x)dx 135
五、类型三 I1=∫∞-∞f(x)·cosaxdx,I2=∫∞-∞ f(x)sinaxdx 139
4.3 应用留数定理计算定积分的其它例题 145
本章小结 153
习题 154
第五章 傅里叶级数 傅里叶变换和拉普拉斯变换 158
5.1 傅里叶级数 158
一、周期函数的傅里叶级数展开 158
二、傅里叶正弦级数和傅里叶余弦级数 160
三、定义在一定区间上的函数的傅里叶级数展开 161
四、二重傅里叶级数 168
一、复数形式的傅里叶级数 169
5.2 傅里叶积分和傅里叶变换 169
二、傅里叶积分 170
三、傅里叶变换及其性质 173
5.3 δ函数和阶跃函数 185
一、奇异函数 185
二、δ函数 186
三、阶跃函数 194
5.4 拉普拉斯变换 199
一、拉普拉斯变换的一般概念 199
二、拉普拉斯变换的性质 201
三、拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯反演 208
本章小结 222
习题 224
第六章 数学物理方程的导出和定解问题 229
一、弦的横振动 230
6.1 振动波动方程 230
二、杆的纵振动 232
6.2 热传导方程和扩散方程 236
一、热传导方程 236
二、扩散方程 239
6.3 拉普拉斯方程和泊松方程 241
一、引力势方程 241
二、稳定的温度分布和稳定的浓度分布 243
6.4 定解条件 244
一、定解条件的必要性 244
二、初始条件 245
三、边界条件 247
四、定解问题及其适定性 250
一、二阶线性偏微分方程的分类及其标准型 252
6.5 二阶线性偏微分方程的分类 特征线解法 252
二、用特征线法解初值问题 259
本章小结 264
习题 264
第七章 分离变数法 266
7.1 齐次的泛定方程 267
一、两端固定弦的自由横振动 267
二、有界无源杆内的热传导方程 278
7.2 非齐次泛定方程 285
一、按本征函数展开法 285
二、杜阿美原理 295
7.3 非齐次边界条件 298
一、第一类非齐次边界条件的齐次化 298
二、其它非齐次边界条件的齐次化 302
7.4 二维拉普拉斯方程和泊松方程 306
一、矩形域上的拉普拉斯方程 306
二、圆域上的拉普拉斯方程 311
三、泊松方程 321
本章小结 328
习题 329
第八章 正交曲面坐标系 本征值问题 333
8.1 坐标系的选择 333
8.2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符 334
一、正交曲面坐标系 334
二、梯度 336
三、散度 337
四、正交曲面坐标系中的拉氏算符 338
一、时间空间因子的变数分离 339
8.3 正交曲面坐标系中的变数分离 339
二、直角坐标系中的变数分离 340
三、柱坐标系中的变数分离 340
四、球坐标系中的变数分离 344
8.4 本征值问题 348
一、斯特姆—刘维型方程 348
二、斯特姆—刘维问题 351
三、本征值与本征函数的性质 352
本章小结 363
习题 363
第九章 线性常微分方程的级数解 特殊函数 367
9.1 二阶线性常微分方程的级数解法 367
一、方程的常点和奇点 367
二、二阶线性常微分方程的级数解法 369
三、无穷远点的情形 375
9.2 勒让德函数 391
一、勒让德多项式 391
二、第二类勒让德函数 410
三、缔合勒让德函数 412
四、球谐函数 421
9.3 贝塞尔函数 428
一、贝塞尔方程的解 428
二、贝塞尔函数的基本性质 434
三、生成函数与积分表示 441
四、贝塞尔方程的本征问题 445
五、可化为贝塞尔方程的微分方程 453
六、球贝塞尔函数 458
七、变型(或虚宗量)的贝塞尔函数 467
一、厄密多项式 469
9.4 厄密多项式和厄密函数 469
二、厄密多项式的其它表示式 471
三、厄密多项式的性质 473
四、厄密函数 474
9.5 拉盖尔多项式和拉盖尔函数 475
一、拉盖尔多项式 475
二、拉盖尔多项式的其它表示式 正交归一关系 477
三、拉盖尔函数 480
四、缔合拉盖尔方程和缔合拉盖尔多项式 480
本章小结 482
习题 485
第十章 高维问题 495
10.1 直角坐标系中的问题 495
一、拉普拉斯方程 495
二、矩形膜的横振动 497
三、长方体中的热传导 501
10.2 柱坐标系中的问题 503
一、拉普拉斯方程 503
二、振动波动方程与热传导方程 512
10.3 球坐标系中的问题 520
一、拉普拉斯方程 520
二、热传导方程与振动波动方程 525
本章小结 532
习题 534
第十一章 积分变换法 539
11.1 积分变换 539
11.2 傅里叶变换法 540
一、无界问题 540
二、半无界问题 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 547
11.3 拉普拉斯变换法 557
11.4 有限积分变换法 564
一、有限积分变换的一般考虑 564
二、常见斯—刘型算符的有限积分变换 568
本章小结 575
习题 576
第十二章 格林函数法 580
12.1 常微分方程的边值问题 格林函数 580
一、常微分方程边值问题的另一种解法 580
二、格林函数及其性质 583
三、构造格林函数 586
四、广义(或修正的)格林函数 587
12.2 泊松方程(拉氏算符)的格林函数 594
12.3 亥姆霍兹方程的格林函数 广义格林函数 599
12.4 格林函数的对称性 601
12.5 无界区域的格林函数 基本解 603
12.6 用电像法求格林函数 609
12.7 用本征函数展开法求格林函数 613
12.8 含时间的格林函数 619
一、波动方程 推迟解 619
二、热传导方程 626
三、杜阿美原理 629
本章小结 630
习题 630
附录 635
A.拉普拉斯变换和傅里叶变换表 635
B.常见斯—刘型问题的本征值与本征函数 639
C.常见格林函数问题的基本解 644
习题参考答案 646
主要参考书目 678