第一章 数学的方法论基础 1
1 数学的对象和特征 1
1.关于数学方法论 1
2.数学的对象 2
3.数学的特征 3
2 数学发展的基本时期 5
1.引言 5
2.数学的萌芽 5
3.常量数学 8
4.变量数学 13
5.数学发展的现代时期 14
6.现代数学的特征及其发展前景 20
3 认识的数学方法 23
1.数学与现实 23
2.现实的数学模型 24
3.作为数学模型例子的数、形、集合的概念 26
4.等同的抽象 29
5.理想化及其在数学中的作用 30
4 公理化方法 33
1.数学中的公理化方法 33
2.公理化举例 34
3.与数学中的公理化方法有关的一般概念 36
4.形式的公理化理论 40
5.公理与数学构造 42
第二章 中学数学的集合论观点 48
1 “朴素”集合论与公理集合论 48
1.“朴素”集合论 48
2.集合论的策梅罗—弗兰克尔公理体系 50
2 结构与结构种类 54
1.集合的笛卡儿积 54
2.集合的等级表 55
3.数学对象的集合论构造 57
4.结构种类 61
5.结构种类举例 62
3 集合论与中学数学 64
1.中学数学中的数集 64
2.点集 66
3.集合论在中学数学中的作用 67
4.中学数学中的集合包含关系 68
5.中学数学中集合的运算 70
6.中学数学中集合的笛卡儿积 73
1.引言 76
4 中学数学中的对应与关系 76
2.基本概念 77
3.等价关系与分类 79
4.序关系 81
5.中学数学中的主要对应与关系及其性质 84
6.算术和代数中的等价关系 88
7.中学数学中的等价类 89
8.等价关系与变换群 90
9.齐次空间与中学数学 92
1.基本概念 94
1 映射与结构 94
第三章 中学数学课程的映射与函数 94
2.结构的射 96
3.不变结构 98
4.中学数学中研究的映射的基本形式 101
5.中学数学里结构的射与映射的运算 103
6.中学数学中的拓扑空间和度量空间 105
7.中学数学中的连续映射与同胚映射 107
2 数值函数 108
1.项与函数 108
2.给出函数的其他方法 111
3.中学数学中的连续函数 114
4.初等函数的集合 116
5.指数函数与群(R，+)到群(R+，·)上的同构映射 118
6.指数函数的性质 122
7.引进指数函数概念的其他方法 124
8.三角函数 126
9.三角函数与平面旋转 130
10.三角函数与微分方程 131
3 有限集的映射与组合论 133
1.组合论的基本原理 133
2.组合论的基本公式 136
1.代数运算 140
第四章 中学数学课程的代数与算术基础 140
1 代数运算与代数 140
2.逆运算 143
3.中学数学的基本代数运算 147
4.代数 148
5.代数的一些种类 150
6.中学数学中代数的基本类型 152
2 项及其变形 154
1.代数中的项 154
2.幂与倍数 156
3.单项式与交换半群 158
4.有理项 160
3 代数的序·对称化 162
1.半群中的序关系 162
2.代数的对称化 164
3.半环的扩张 169
4 自然数 172
1.引言 172
2.皮亚诺公理体系 173
3.归纳构造的基本定理 175
4.皮亚诺公理体系的完备性 180
5.皮亚诺公理体系的相容性 182
6.作为良序半环的自然数集 184
7.有限集与无限集 185
8.以加法为基础的自然数集公理体系 191
5 正数量和正实数 193
1.正数量集合的公理体系 193
2.正数量公理体系的相容性 196
3.正数量公理体系的完备性 198
4.正实数集 R+ 200
1 几何学的向量结构 203
1.引言 203
第五章 中学几何的一些问题 203
2.韦尔公理体系 204
3.韦尔公理体系的其他方案 206
4.韦尔公理体系的相容性和完备性 209
5.标架与坐标 210
6.直线 213
7.射线 216
8.线段 217
9.平面 218
10.半平面 221
11.长度与角度 223
12.运动 226
13.点——向量仿射空间 230
14.韦尔公理体系与中学几何 234
2 几何的度量结构 236
1.柯尔莫戈洛夫建立欧几里得平面结构的逻辑纲要 236
2.韦尔公理体系与柯尔莫戈洛夫公理体系的联系 244
3 几何量的度量 246
1.量的一般定义 246
2.量的直接度量 248
3.Rk 中体积的度量 249
4.曲线的长度 253
5.曲线长度的存在性 254
6.长度的唯一性 256
7.弧长的下半连续性 258
8.曲面的面积 258
第六章 中学数学的语言 261
1 名字 意义 涵义 261
1.名字 261
2.名字和涵义 263
3.语句 265
4.常元与变元 267
5.形式 269
1.数学语言 272
2 中学数学的基本符号 272
2.数学符号 274
3.中学数学的字母表 276
4.中学代数的字母表 280
5.中学几何的字母表 281
6.数学分析初步的语言 283
7.中学代数语言的句法 287
8.中学代数语言的语义 290
9.式 291
10.几何和分析初步中的项与式 292
11.初等式 293
第七章 中学数学的逻辑 295
1 数学命题 295
1.中学数学中的数学命题 295
2.逻辑等价性与逻辑推理 297
3.完全逻辑的陈述 299
2 定义 301
1.引言 301
2.名目定义和实在定义 302
3.被定义项与定义项 304
4.合理的定义和不合理的定义 306
5.存在性与唯一性 308
6.摹状词 310
7.公理化定义 311
8.古典定义 313
9.递归定义 315
3 证明 316
1.形式化的证明和有内容的证明 316
2.推理规则 319
3.间接证明 322
4.用数学归纳法证明 326
参考文献 328