第一章 几何结构 1
1 数学结构的意义 1
1.1 数学发展的分化与统一 1
1.2 现代数学结构的分类 2
1.3 结构的作用 4
2 现代数学中欧氏几何的结构 5
2.1 几何学的向量结构 6
2.2 几何学的度量结构 11
3 经典数学中欧氏几何的结构 14
3.1 欧几里得《几何原本》——古典公理法 14
3.2 希尔伯特《几何基础》——近代公理法 19
4 教育数学中欧氏几何的结构 26
4.1 我国现行中学几何教材的结构分析 27
4.2 国际中学几何教材改革的趋向 30
4.3 二十一世纪中学平面几何新体系的探讨 34
习题一 46
第二章 几何证题 50
1 命题与证明 50
1.1 命题 50
1.2 推理与证明 56
2 几何证题的推理方法 61
2.1 综合法与分析法 61
2.2 直接证法与间接证法 66
2.3 演绎推理与合情推理 75
3 几何证题的思考方法 79
3.1 分解拼补法 79
3.2 命题转换法 86
3.3 特殊化 97
3.4 类比 101
3.5 面积法 105
4.1 三角法 111
4 其他数学方法在几何证题中的应用 111
4.2 代数法 116
4.2 坐标法 120
4.4 向量法 124
4.5 复数法 127
习题二 138
第三章 几何变换 146
1 变换与变换群 146
1.1 映射 146
1.2 变换 147
1.3 变换群 148
2 合同变换 150
2.1 合同变换及其性质 150
2.2 平移变换 153
2.3 旋转变换 156
2.4 反射 162
2.5 平移、旋转、反射之间的关系 165
2.6 自对称图形 173
3 相似变换 177
3.1 相似变换及其性质 177
3.2 位似变换 179
4 反演变换 188
4.1 反演变换及其性质 188
4.2 极点与极线 203
习题三 205
第四章 几何轨迹 208
1 轨迹的有关概念 208
1.1 轨迹的意义 208
1.2 轨迹基本定理 212
1.3 三种类型的轨迹题 213
2.1 描迹法 220
2 用综合法探求点的轨迹 220
2.2 几何变换法 226
2.3 条件代换法 229
3 用解析法探求点的轨迹 237
习题四 244
第五章 几何作图 247
1 几何作图基本知识 247
1.1 作图工具与作图公法 247
1.2 作图成法 248
1.3 作图题的条件与分类 249
1.4 解作图题的步骤 250
2 常用的作图方法 252
2.1 交轨法 252
2.2 三角形奠基法 257
2.3 变位法 260
2.4 位似法 264
2.5 反演法 266
2.6 代数法 268
3 尺规作图可能性的判断准则 273
3.1 尺规作图的充分必要条件 273
3.2 三次方程的根能否尺规作图的判定 275
3.3 三大尺规作图不能问题 276
3.4 尺规作图不能问题的判别方法 277
习题五 280
第六章 立体几何 283
1 点、直线、平面 284
2 简单多面体的欧拉公式 294
3 面积与体积 301
3.1 面积概念 301
3.2 体积概念 303
3.3 拟柱体与辛普生公式 306
4.1 分解拼补法 314
4 立体几何证题法 314
4.2 命题转换法 316
4.3 类比法 319
4.4 体积法 323
4.5 向量法 323
5 四面体的度量公式 326
6 多面角的概念与球面多边形的面积 332
习题六 337
第七章 球面几何 342
1 距离、线段、角 342
2 球面三角 350
3 对偶原则 356
4 图形相等与椭圆运动 361
习题七 364
第八章 双曲几何 367
1 距离、线段、角 370
2 双曲三角 379
3 图形相等与双曲运动 386
4 双曲几何模型 391
4.1 克莱因模型 391
4.2 庞卡莱模型 395
习题八 400
第九章 n 维欧氏几何简介 403
1 距离、线段、凸集、变换 404
2 超平面、凸多胞形 409
3 单形的体积 413
4 关于单形的射影定理、余弦定理和正弦定理 422
5 关于单形的几何不等式 427
6 重心坐标 432
习题九 440
习题答案和提示 443