第一章 矢量及其线性运算 1
1 矢量概念 1
2 矢量线性运算 3
2.1 矢量加法及其运算规律 3
2.2 数量乘矢量及其运算规律 5
3 矢量的线性关系 9
3.1 矢量的线性组合 9
3.2 矢量的线性关系 11
4 平行投影 有向直线 直线上矢量的代数长 14
4.1 平行投影 14
4.2 有向直线 15
4.3 直线上矢量的代数长 16
结束语 17
第二章 仿射坐标系 直线和平面 18
1 空间仿射坐标系 18
1.1 空间仿射坐标系的建立 18
1.2 矢量的分量(或坐标) 19
1.3 点的坐标 21
1.4 平行投影与仿射坐标系 22
1.5 图和例 24
2 直线 27
2.1 直线方程 27
2.2 矢量的定比分割 31
2.3 两直线的相对位置 32
3 平面 35
3.1 平面的参数方程 35
3.2 平面的普遍方程 36
3.3 三元一次多项式的符号 41
3.4 矢量与平面平行的条件 42
3.5 两平面的相对位置 43
3.6 对于坐标系有特殊位置的平面 45
4 直线和平面间的关系 49
4.1 直线与平面的相对位置 49
4.2 平面束 平面把 直线把 49
4.3 三个平面的相对位置 53
结束语 60
第三章 矢量的数积和矢积 直角坐标系下的直线和平面 62
1 数积 62
1.1 矢量数积的定义 62
1.2 数积运算规律 63
2 矢积 68
2.1 两矢矢积的定义和推论 68
2.2 矢积运算规律 68
3 三矢混合积 73
4 三矢矢积 拉格朗日恒等式 76
4.1 三矢矢积 76
4.2 拉格朗日恒等式 78
5.1 坐标系的建立 80
5 空间直角坐标系 80
5.2 对称点 正投影 81
5.3 矢量运算在直角坐标系下的表示式 81
5.4 直角坐标系作图法 85
6 角度 距离 87
6.1 方向角 方向余弦 方向系数 87
6.2 平面的法矢 87
6.3 角度 88
6.4 距离 89
7.1 平面法方程 94
7 平面法方程 94
7.2 化普遍方程为法方程 96
7.3 平面到点的有向距离 97
结束语 99
第四章 几种常见的曲面 101
1 柱面 101
1.1 几种二阶柱面 101
1.2 一般柱面 106
2 锥面 109
2.1 圆锥面 110
2.2 一般锥面 111
3 回转面 119
4 椭圆面 125
5 双曲面 131
5.1 单叶双曲面 131
5.2 双叶双曲面 134
6 二阶锥面 136
6.1 二阶锥面的标准方程 136
6.2 二阶锥面作为双曲面的渐近锥面 137
7 抛物面 138
7.1 椭圆抛物面 138
7.2 双曲抛物面 140
8.1 单叶双曲面作为二阶直纹面 143
8 二阶直纹面 143
8.2 双曲抛物面作为二阶直纹面 147
9 曲面和曲线的表示法 153
9.1 关于曲面和曲线方程的一般概念 153
9.2 曲面和曲线的参数方程 155
9.3 由曲线产生的曲面 158
结束语 163
第五章 坐标变换与线性变换 164
1 矩阵 165
1.1 矩阵的定义 165
1.2 矩阵的乘法 166
1.3 矩阵乘法的结合律 169
2.1 底矢变换 172
2 仿射坐标变换 172
2.2 矢的分量变换 175
2.3 点的坐标变换 176
3 直角坐标变换 185
3.1 底矢变换 185
3.2 矢的分量变换 188
3.3 点的坐标变换 189
4 齐次线性变换 199
4.1 齐次线性变换乘法 200
4.2 逆变换 202
4.3 变换群 齐次线性变换群 齐次正交变换群 204
5 线性变换 214
5.1 线性变换乘法 215
5.2 满秩线性变换的逆变换 216
5.3 线性变换群与正交变换群 217
结束语 219
第六章 仿射和直角坐标系下的二阶曲面 221
前言 221
1 二阶曲面和直线的交点 225
2 在仿射坐标系下，对二阶曲面的考察 227
2.1 切线，切面和极面，奇点 227
2.2 切锥面和切柱面 232
2.3 渐近方向和中心 233
2.4 共轭直径面和奇向 239
2.5 共轭方向和共轭直径 243
3 二阶曲面的仿射标准方程 250
3.1 中心曲面(r=3) 250
3.2 r=2的无心曲面 252
3.3 (r=2的)线心曲面 253
3.4 r=1的无心曲面 254
3.5 (r=1的)面心曲面 256
4 在直角坐标系下，对二阶曲面的考察 260
4.1 主方向和主直径 261
4.2 (正交)不变量和半不变量 264
4.3 互相垂直又互相共轭的主方向 271
5 二阶曲面的(度量)标准方程 276
5.1 中心曲面(r=3) 277
5.2 r=2的无心曲面 278
5.3 (r=2的)线心曲面 279
5.4 r=1的无心曲面 281
5.5 (r=1的)面心曲面 281
结束语 287
第七章 欧氏几何与仿射几何 291
1 刚体运动 292
1.1 刚体运动的变换公式 293
1.2 刚体运动的分解 294
2.2 等距变换 297
2.1 反射 297
2 等距变换 欧氏几何 297
2.3 图形的等价与分类 300
2.4 二阶曲面的度量分类 300
3 仿射变换 301
4 仿射几何 305
5 仿射变换的分解 309
6 二阶曲面的仿射分类 313
结束语 314
第八章 射影几何简介 317
1 扩大空间与射影空间 317
1.1 扩大直线与射影直线 317
1.2 扩大平面与射影平面 319
1.3 扩大空间与射影空间 321
2 对偶原则 326
2.1 结合关系 326
2.2 对偶原则 328
3 射影坐标与射影坐标变换 338
3.1 直线上的射影坐标 338
3.2 空间的射影坐标 339
3.3 射影坐标变换 341
4 射影变换与射影几何 346
4.1 射影变换与射影群 346
4.2 射影性质与射影几何 349
4.3 关于射影变换的基本定理 351
5 交比 354
5.1 直线上的交比 354
5.2 面束和线束中的交比 359
5.3 交比作为射影不变量 360
5.4 经过投影截影交比的不变性 361
5.5 欧氏空间中交比的几何意义 364
5.6 调和比 366
6 二阶曲面 376
6.1 有关二阶曲面的若干射影概念 377
6.2 扩大空间二阶曲面和无穷远元素的关系 383
6.3 从扩大空间看二阶曲面的仿射分类 385
6.4 无穷远圆 388
6.5 二阶曲面的射影分类 389
7 从复空间二阶曲面的射影分类谈起 395
结束语 398
1.关于变换群与几何学 398
2.关于对偶原则 399
3.关于二阶曲面 400
4.关于两个二阶曲面的交线 401
5.关于直线坐标 403
6.关于欧氏几何与非欧几何 404
7.关于射影几何基础与n维射影几何 406
名词索引 409