预篇 1
第一章 函数 16
1.1 变量 16
习题1.1 18
1.2 函数概念 19
一、单变量函数 20
二、函数的几种简单性质 28
三、复合函数 30
四、反函数 31
习题1.2 36
一、基本初等函数 37
1.3 初等函数 37
二、初等函数 43
三、双曲函数 44
习题1.3 46
1.4 建立函数关系 47
习题1.4 51
复习题一 53
第二章 极限 58
2.1 数列的极限 58
一、面积问题 59
二、数列的极限概念 61
三、极限存在的唯一性定理 70
四、整标函数的极限 70
习题2.1 71
2.2 函数的极限 72
一、当x任意趋于定值x0时函数f(x)的极限 73
二、左极限与右极限 78
三、当自变量趋向无穷时函数的极限 79
四、极限与函数的同号性及有界性 82
五、无穷小量与无穷大量 83
习题2.2 87
2.3 极限四则运算定理 88
一、函数的极限与无穷小量的关系 88
二、无穷小量的性质 89
三、极限的四则运算定理 92
2.4 极限存在的准则 97
习题2.3 97
一、介值准则 98
二、单调有界准则 101
习题2.4 105
2.5 无穷小的比较 106
一、无穷小量的阶 106
二、等价无穷小 107
习题2.5 109
2.6 连续函数 110
一、函数在一点处连续的概念 110
二、函数间断点的类型 113
三、连续函数的基本性质 114
四、初等函数的连续性 115
习题2.6 120
一、无穷数列及其子数列 121
2.7 关于极限、连续的附录 121
二、函数的一致连续性 124
复习题二 129
第三章 导数与微分 134
3.1 导数概念 134
一、线性函数的变化率 134
二、导数的定义 135
三、导数的几何意义 141
四、函数的可导性与连续性的关系 143
五、按定义求导数举例 144
习题3.1 146
一、函数的和、差、积、商的导数 149
3.2 初等函数的微分法 149
二、复合函数微分法 152
三、反函数的导数 155
四、杂例 159
五、高级导数 161
习题3.2 163
3.3 微分概念 170
一、函数增量的近似值 170
二、微分的定义 172
三、微分的几何意义 175
四、微分形式不变性 微分公式 175
习题3.3 177
一、函数的近似公式 178
3.4 微分在近似计算上的应用 178
二、函数值的误差估计 180
习题3.4 182
3.5 隐函数及参量函数的导数 183
一、隐函数微分法 183
二、参量函数微分法 185
习题3.5 190
3.6 图解微分法 191
复习题三 194
第四章 导数的应用 196
4.1 中值定值 196
一、洛尔定理 197
二、拉格朗日定理 198
三、柯西定理 201
四、罗比塔法则 202
习题4.1 209
4.2 函数的增减性与极值 212
一、函数的增减性 212
二、函数的极值 214
习题4.2 220
4.3 函数的最大值、最小值 221
习题4.3 226
4.4 曲线的凹凸性与拐点 227
习题4.4 231
4.5 渐近线 231
一、水平渐近线 232
二、垂直渐近线 233
三、斜渐近线 233
习题4.5 235
4.6 函数的作图 235
习题4.6 238
4.7 曲率 239
一、弧长的微分 239
二、曲率 240
三、曲率圆 244
四、渐屈线与渐伸线 247
习题4.7 252
4.8 方程的近似根 252
一、弦位法 253
二、切线法 255
复习题四 258
第五章 不定积分 260
5.1 不定积分的概念 260
一、原函数 260
二、不定积分的定义 262
三、不定积分的简单性质 264
四、基本积分表 266
习题5.1 269
5.2 基本积分法 270
一、换元积分法 271
二、分部积分法 285
习题5.2 291
5.3 几种函数类型的积分法 294
一、有理函数的积分 294
二、三角函数有理式的积分 308
三、几种无理函数的积分 311
习题5.3 315
5.4 积分表的使用法 316
复习题五 321
第六章 定积分 324
6.1 定积分的概念 324
一、定积分问题的引例 324
二、定积分的定义 330
三、定积分的几何意义 333
习题6.1 335
6.2 定积分的性质 336
一、定积分的简单性质 336
二、定积分中值定理 339
习题6.2 340
6.3 定积分与原函数的关系 341
一、变上限的定积分 341
二、牛顿-莱布尼兹公式 343
习题6.3 346
6.4 定积分的计算方法 347
一、换元公式 347
二、分部积分公式 351
习题6.4 355
一、矩形法 356
6.5 定积分的近似计算法 356
二、梯形法 357
三、抛物线法 358
四、图解积分法 363
习题6.5 365
6.6 广义积分 366
一、广义积分 366
二、Γ函数 376
习题6.6 378
6.7 定积分的应用 379
一、平面图形的面积 381
二、旋转体的体积 386
三、平面曲线的弧长 390
四、旋转体的侧面积 395
五、功 397
六、液体的压力 399
七、连续函数的平均值 401
习题6.7 403
复习题六 407
第七章 微分方程 409
7.1 微分方程的基本概念 409
一、在一些问题中出现的微分方程 409
二、常微分方程的基本概念 411
习题7.1 413
一、可分离变量的方程 414
7.2 一阶微分方程 414
二、齐次方程 418
三、一阶线性方程 419
四、应用举例 424
五、导数已解出的一阶微分方程的几何意义 434
习题7.2 436
7.3 几种可降阶的高阶微分方程 438
一、？=f(x)型方程 438
二、？=f(x,？)型方程 438
三、？= f(y,？)型方程 439
四、应用举例 悬链线的方程 440
7.4 二阶线性常系数微分方程 442
习题7.3 442
一、线性微分方程的解的结构 443
二、二阶线性常系数齐次微分方程的解 445
三、二阶线性常系数齐次微分方程的应用 448
四、二阶线性常系数非齐次方程 453
五、二阶线性常系数微分方程的应用 460
六、“D”算子法 463
七、参量变易法在解线性方程中的应用 468
习题7.4 471
7.5 线性微分方程组 472
习题7.5 477
复习题七 479
附录 积分表 485
计算题答案 505