第一章 复数与复变函数 1
一、基础知识提要 1
1. 复数的运算及其表示法 1
2. 复平面上的点集 10
3. 复变函数 12
4. 复变函数的极限和连续性 15
二、基本训练举例 17
三、基本训练题 23
四、基本训练题解答或提示 26
五、自我检查题及解答 36
第二章 解析函数 41
一、基础知识提要 41
1. 解析函数的概念及其判定法 41
2. 解析函数与调和函数的关系 48
3. 初等函数 51
4. 平面场的复势 57
二、基本训练举例 66
三、基本训练题 76
四、基本训练题解答或提示 79
五、自我检查题及解答 85
第三章 复变函数的积分 89
一、基础知识提要 89
1. 复变函数积分的概念及性质 89
2. 柯西积分定理 95
3. 柯西积分公式及其应用 101
二、基本训练举例 107
三、基本训练题 114
四、基本训练题解答或提示 116
五、自我检查题及解答 121
第四章 级数 126
一、基础知识提要 126
1. 复数项级数 幂级数 126
2. 解析函数的幂级数展开 136
3. 罗朗(Laurent)级数 141
二、基本训练举例 149
三、基本训练题 160
四、基本训练题解答或提示 163
五、自我检查题及解答 171
第五章 留数 175
一、基础知识提要 175
1. 孤立奇点及其分类 175
2. 留数定理及计算法则 186
3. 留数在定积分计算上的应用 194
4. 对数留数与辐角原理 200
二、基本训练举例 206
三、基本训练题 223
四、基本训练题解答或提示 225
五、自我检查题及解答 235
第六章 保角映射 243
一、基础知识提要 243
1. 保解映射的概念 243
2. 分式线性映射 248
3. 初等函数构成的映射 261
4. 多角形映射公式 267
二、基本训练举例 277
三、基本训练题 295
四、基本训练题解答或提示 299
五、自我检查题及解答 305
第七章 总结 308
一、复数的表示方法及其运算 308
二、复变函数、极限、连续性、微分的概念与公式 309
三、解析函数的判别法 311
四、解析函数与调和函数的关系 312
五、复变函数的积分 312
六、幂级数、罗朗级数、留数及其应用 315
七、保角映射 318
综合自我检查题(一) 319
综合自我检查题(二) 321
解答与提示(一) 323
解答与提示(二) 325
第八章 几个专题 331
1. 柯西积分定理的证明 331
2. 复变函数应用举例 337
3. 拉普拉斯方程的边值问题 355
4. 区域的变换表 363