第一章 极限与连续 1
1.1 导读 1
1.2 函数概念 1
1.2.1 函数概念的历史演进 1
1.2.2 关于周期函数的定义 6
1.3 极限的几个问题 8
1.3.1 Cauchy数列的几种弱形式间的关系 8
1.3.2 算术-几何平均值不等式的几种新证法 9
1.3.3 极限？(1+？)n=e与Euler常数 13
1.3.4 用等价无穷小替换求极限法的一个推广 19
1.3.5 关于数列极限的一个定理 22
1.3.6 复合函数的极限 25
1.3.7 评注 27
1.4 连续函数 28
1.4.1 一对一的连续函数 28
1.4.2 连续函数的逐次逼近序列 28
1.4.3 收敛保持函数 29
1.4.4 在无理点连续而在有理点间断的严格单增函数 31
1.4.5 无处单调的连续函数 32
1.4.6 关于单调函数之商 33
1.4.7 评注 35
1.5 闭区间上连续函数的性质 36
1.5.1 闭区间上连续函数最大值存在性定理的几种证法 36
1.5.2 几个基本定理证明的统一处理方法 38
1.5.3 Weierstrass逼近定理的一个初等证明 40
1.5.4 评注 42
1.6 一致连续函数 43
1.6.1 函数一致连续的等价命题 43
1.6.2 函数乘积的一致连续性 47
1.6.3 使函数连续且一致连续的点集的性质 49
1.6.4 评注 50
1.7 在每个区间上有一个真正局部极大值的函数 51
第二章 微分 56
2.1 导读 56
2.2 微分学基本定理 57
2.2.1 微分学基本定理的初等证明 57
2.2.2 微分学基本定理的推广 58
2.3 对称导数 60
2.3.1 导数与非中心差商 60
2.3.2 对称导数的基本理论 62
2.3.3 评注 64
2.4 导数与单调性 64
2.4.1 可微且单调有界函数中的一个反例 64
2.4.2 关于连续函数严格单调的充分条件 65
2.4.3 导数几乎处处为零的严格单调的连续函数 66
2.5 连续性、可微性与一致可微性 67
2.5.1 导函数的连续性 68
2.5.2 函数一致可微的特征 68
2.5.3 处处连续而无处可微的函数 71
2.5.4 稠密集上函数不连续的一个定理 73
2.5.5 评注 75
2.6 导数介值定理的几种证明 76
2.7 微分中值定理及其推广 80
2.7.1 关于Rolle定理的证明 80
2.7.2 Lagrange定理及其证明方法 82
2.7.3 微分中值定理的推广 88
2.7.4 评注 94
2.8 复值函数的L Hospital法则 95
2.9 凸函数的等价定义 98
3.1 导读 101
第三章 积分 101
3.2 关于Riemann积分的定义 102
3.2.1 历史简述 102
3.2.2 Riemann可积的等价形式 103
3.2.3 评注 108
3.3 关于Stieltjes积分的定义 109
3.4 两种推广的Riemann积分 113
3.4.1 微积分基本定理 113
3.4.2 函数的可积性与存在原函数之间的关系 115
3.4.3 Riemann积分的几种推广 118
3.4.4 评注 127
3.5 积分中值定理 128
3.5.1 积分中值定理的一个简洁证明 128
3.5.2 积分中值定理的推广 130
3.5.3 积分中值定理中间值的唯一性 135
3.5.4 积分中值定理中间值的渐近状态 138
3.5.5 评注 139
3.6 Riemann引理与Dirichlet引理的推广 140
3.6.1 Riemann引理的推广 140
3.6.2 Dirichlet引理的推广 147
3.6.3 评注 149
3.7 广义积分 150
3.7.1 广义积分可作为和式极限的几个结论 150
3.7.2 广义积分的几个收敛判别法 155
3.7.3 应用举例 161
3.7.4 评注 163
3.8 几种重要积分的计算 163
3.8.1 积分∫？？dx的几种计算法 163
3.8.2 概率积分∫？e-x2dx的新算法 170
3.8.3 Euler积分新算法 172
3.8.4 Froullani积分的推广 174
3.8.5 Fresnel积分新算法 176
3.8.6 Г函数的特征 178
3.8.7 定积分的公理定义 180
3.8.8 评注 181
第四章 级数 183
4.1 导读 183
4.2 数项级数 184
4.2.1 正项级数敛散性判别法 184
4.2.2 几种正项级数判别法的比较 189
4.2.3 正项级数的两个等价判别法 195
4.2.4 Dirichlet判别法和Abel判别法 197
4.2.5 级数绝对收敛的导数判别法 200
4.2.6 级数的Cauchy乘积 201
4.2.7 无穷级数与广义积分收敛的某些必要条件 204
4.2.8 无穷级数的积分判别法的推广 205
4.2.9 评注 209
4.3 函数项级数 209
4.3.1 Dirichlet判别法与Abel判别法 209
4.3.2 关于函数项级数的Fubini定理 212
4.3.3 函数项级数的亚一致收敛 214
4.2.4 关于积分号下取极限 219
4.3.5 函数项级数的逐项微分 222
4.4 幂级数 224
4.4.1 幂级数逐项微分定理的一个简单证明 224
4.4.2 Taylor公式的另一种证明 225
4.4.3 关于Taylor公式的余项 227
4.4.4 Taylor公式的推广 231
4.4.5 每个幂级数必是某个函数的Taylor级数 233
4.5.1 系数趋于零而又处处发散的三角级数的例子 234
4.5 三角级数 234
4.5.2 Fourier级数收敛定理的一个新证明 236
4.5.3 评注 239
第五章 多元函数 241
5.1 导读 241
5.2 多元函数极限的定义 241
5.2.1 两种定义 242
5.2.2 两种定义的比较 242
5.3 几个基本概念之间的关系 244
5.4.1 一类函数可微与连续可微的特征 247
5.4 多元函数的微分 247
5.4.2 关于可微性 248
5.4.3 二阶混合偏导数相等的定理 251
5.4.4 评注 257
5.5 二元函数与一元函数性质的基本差异 258
5.6 多元函数的极值 261
5.6.1 多元函数极值的一阶微分判别法 261
5.6.2 关于最大(小)值的一个例子 264
5.6.3 最大、最小值的极限形式及其应用 265
5.7 多元凸函数 268
5.7.1 凸函数的连续性 269
5.7.2 凸函数的可微性 272
5.7.3 凸函数序列 274
5.7.4 凸函数项级数 277
5.7.5 评注 280
5.8 多元函数的次微分 280
5.8.1 定义与性质 280
5.8.2 Lipschitz函数的次微分 282
5.8.3 次微分的中值定理 285
5.9.1 二重积分与累次积分之间的关系 288
5.9 多元函数积分的几个问题 288
5.8.4 评注 288
5.9.2 关于函数乘积积分的一个定理 293
5.9.3 含参变量的无穷限广义积分的绝对收敛与一致收敛性 294
5.9.4 恰当微分的线积分 296
5.10 二重级数收敛判别法 298
5.11 中值公式及Kantorovich不等式的推广 303
5.11.1 向量值函数的中值不等式 303
5.11.2 Kantorovich不等式的推广 305
参考文献 309