第1章 实分析和函数论 1
引言 1
1.1 集合 2
1.2 映射 3
1.3 选择公理和Zorn引理 5
1.4 集合R和C的构造 8
1.5 基数；有限集和无限集 9
1.6 拓扑空间 11
1.7 拓扑空间中的连续性 14
1.8 拓扑空间中的紧性 15
1.9 拓扑空间中的连通和单连通性 16
1.10 距离空间 18
1.11 距离空间的连续性和一致连续性 20
1.12 完备距离空间 22
1.13 距离空间中的紧性 23
1.14 Rn中的Lebesgue测度；可测函数 24
1.15 Rn中的Lebesgue积分；基本定理 28
1.16 Rn上Lebesgue积分的变量代换 33
1.17 Rn中的体积、面积和长度 34
1.18 空间Cm（Ω）和Cm（Ω）；Rn中的域 36
第2章 赋范向量空间 41
引言 41
2.1 向量空间；Hamel基；向量空间的维数 42
2.2 赋范向量空间；基本性质和例；商空间 45
2.3 K为紧集时的空间C（K;Y）；一致收敛和局部一致收敛性 51
2.4 空间lp，1≤p≤∞ 55
2.5 Lebesgue空间Lp（Ω），1≤p≤∞ 59
2.6 空间Lp（Ω）（1≤p＜∞）的正则化与逼近 66
2.7 紧性和有限维赋范向量空间；F.Riesz定理 75
2.8 有限维赋范向量空间中紧性的应用；代数学基本定理 78
2.9 赋范向量空间上的连续线性算子；空间？（X;Y），？（X）和X＊ 81
2.10 赋范向量空间上的紧线性算子 88
2.11 赋范向量空间上的连续多重线性映射；空间？k（X1,X2，…，Xk;Y） 90
2.12 Korovkin定理 96
2.13 Korovkin定理对多项式逼近的应用；Bohman定理，Bernstein定理和Weierstrass定理 99
2.14 Korovkin定理应用于三角多项式逼近；Fejér定理 103
2.15 Stone-Weierstrass定理；对复三角多项式逼近的应用 108
2.16 凸集 112
2.17 凸函数 116
第3章 Banach空间 121
引言 121
3.1 Banach空间；基本性质 122
3.2 Banach空间的例子；空间C（K；Y），其中K为紧集，Y完备，和空间L（X；Y），其中Y完备 128
3.3 取值于Banach空间的单实变量连续函数的积分 132
3.4 Banach空间的例：空间lp和Lp（Ω），1≤p≤∞ 133
3.5 赋范向量空间的对偶；例；Lp（Ω）（1≤p＜∞）中的F.Riesz表示定理 137
3.6 Banach空间的级数 147
3.7 Banach不动点定理 151
3.8 Banach不动点定理的应用：非线性常数微分方程解的存在性；Cauchy-Lipschitz定理；单摆方程 155
3.9 Banach不动点定理的应用：非线性两点边值问题解的存在性 159
3.10 Ascoil-Arzelà定理 163
3.11 Ascoli-Arzelà定理的应用：非线性常数微分方程解的存在性，Cauchy-Peano定理，Euler方法 168
第4章 内积空间和Hilbert空间 173
引言 173
4.1 内积空间和Hilbert空间；Cauchy-Schwarz-Bunyakovskiǐ不等式；平行四边形法则 174
4.2 内积空间和Hilbert空间的例子；空间l2和L2（Ω） 181
4.3 投影定理 183
4.4 投影定理的应用：线性系统的最小二乘解 194
4.5 直交性；直和定理 195
4.6 Hilbert空间中的F.Riesz表示定理 197
4.7 F.Riesz表示定理的应用：Hilbert空间中的Hahn-Banach定理；伴随算子；再生核 199
4.8 内积空间的极大规范正交系 205
4.9 Hilbert空间中的Hilbert基和Fourier级数 214
4.10 内积空间中的自伴算子的特征值和特征函数 220
4.11 紧自伴算子的谱定理 222
第5章 线性泛函分析中的重要定理 231
引言 231
5.1 Baire定理；首选应用：多项式空间的不完备性 232
5.2 Baire定理的应用：连续而无处可微函数的存在性 236
5.3 Banach-Steinhaus定理，即一致有界性原理；对数值求积公式的应用 239
5.4 Banach-Steinhaus定理的应用：Lagrange插值的发散性 245
5.5 Banach-Steinhaus定理的应用：Fourier级数的发散 253
5.6 Banach开映射定理；首选应用：两点边值问题的适定性 256
5.7 Banach闭图像定理；首选应用：Hellinger-Toeplitz定理 260
5.8 向量空间中的Hahn-Banach定理 262
5.9 赋范向量空间的Hahn-Banach定理；第一个推论 266
5.10 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集的分离 274
5.11 对偶算子；Banach闭值域定理 279
5.12 弱收敛和弱＊收敛 288
5.13 Banach-Saks-Mazur定理 296
5.14 自反空间；Banach-Eberlein-？mulian定理 299
第6章 线性偏微分方程 307
引言 307
6.1 二次极小化问题；变分方程和变分不等式 308
6.2 Lax-Milgram引理 312
6.3 L？c（Ω）中的弱偏导数；分布论简介 315
6.4 △的次椭圆性 322
6.5 Sobolev空间Wm,p（Ω）及Hm（Ω）：基本性质 329
6.6 关于区域Ω的Sobolev空间Wm,p（Ω）和Hm（Ω）：嵌入定理，迹，Green公式 335
6.7 二阶线性椭圆边值问题的例；薄膜问题 341
6.8 四阶线性边值问题的实例；重调和与板问题 358
6.9 与变分不等式相应的非线性边值问题的实例；障碍问题 367
6.10 二阶椭圆算子的特征值问题 373
6.11 空间W-m,q（Ω）与H-m（Ω）；J.L.Lions引理 381
6.12 Babu？ka-Brezzi上下确界定理；对有约束二次极小化问题的应用 385
6.13 Babu？ka-Brezzi上下确界定理的应用：变分问题的原始，混合及对偶形式 392
6.14 Babu？ka-Brezzi上下确界定理及J.L.Lions引理的应用：Stokes方程组 398
6.15 J.L.Lions引理的第二个应用：Korn不等式 408
6.16 Korn不等式的应用：三维线性化弹性方程组 418
6.17 经典Poincaré引理，及其作为J.L.Lions引理和△次椭圆性应用的弱形式 425
6.18 Poincaré引理的应用：经典的和弱Saint-Venant引理；Cesàro-Volterra路径积分公式 435
6.19 J.L.Lions引理的另一个应用：Donati引理 443
6.20 Pfaff方程组 450
文献注释 457
参考文献 461
主要符号 495
索引 503