第一章 集合与映射 1
1 集合 1
1.1 集合的概念 1
1.2 集合的基本运算 2
1.3 集的积 4
1.4 上(下)界，最大(小)元，上(下)确界 5
2 映射 7
2.1 映射的概念 7
2.2 映射的例子 9
2.3 映射的复合 13
2.4 单射、满射、双射 15
2.5 逆映射 15
2.6 直接象与原象 18
3 等价关系 19
3.1 二元关系 19
3.2 等价关系 20
3.3 等价类 22
3.4 商集 23
3.5 序关系 24
4 同构 25
5 可数集与不可数集 28
5.1 集的势 28
5.2 可数集与不可数集 28
5.3 区间〔0，1〕的不可数性 30
6 量词及例 31
6.1 量词 31
6.2 例 31
习题 33
1.1 建立实数理论的必要性 37
1 实数的构造 37
第二章 实数的构造以及有关实数的定理 37
1.2 Cauchy 序列和等价的 Cauchy 序列 38
1.3 实数的加法 40
1.4 实数的乘法 42
1.5 实数域是有理数域的扩张 46
1.6 实数的比较 46
2 有关实数的定理 48
2.1 Q 在 R 内的稠密性 48
2.2 Cauchy 收敛准则 49
2.3 确界定理 51
2.4 有关单调数列的一个定理 54
2.5 Bolzano—Weierstrass 定理 55
2.6 闭区间套定理 56
2.7 有限覆盖定理 57
2.8 有关实数定理的相互推证举例 60
3 闭区间上连续函数的性质 62
3.1 有界性与最大(小)值定理 62
3.2 介值定理 64
3.3 Cantor 一致连续定理 65
3.4 有关反函数的一个定理 66
4.1 上、下极限的概念与定义 69
4 上、下极限 69
4.2 上、下极限的性质 70
习题 73
第三章 级数 77
1 常数项级数 77
1.1 基本概念 77
1.2 Cauchy 收敛准则 78
2 正项级数 80
2.1 正项级数的比较判别法 80
2.2 Cauchy 判别法和 D′Alembert 判别法 82
3.1 级数的绝对收敛与条件收敛 86
3 任意项级数 86
3.2 Abel 变换 88
3.3 Dirichlet 判别法与 Abel 判别法 90
4 绝对收敛级数的性质 92
4.1 绝对收敛级数关于项的可交换性 92
4.2 级数的乘法 97
5 函数序列及其一致收敛性 105
5.1 点态收敛与一致收敛 105
5.2 与一致收敛定义等价的其它条件 108
5.3 一致收敛与连续性 111
5.4 一致收敛序列的积分 112
5.5 一致收敛序列的微分 113
6 函数项级数及其一致收敛性 114
6.1 函数项级数及其收敛的定义 114
6.2 一致收敛级数的性质 114
6.3 函数项级数的一致收敛判别法 116
7 幂级数 122
7.1 Abel 定理与幂级数的收敛半径 122
7.2 Abel 定理的应用 124
7.3 幂级数的逐项微分与逐项积分 127
习题 129
第四章 度量空间 134
1 Euclid 空间 134
1.1 n 维 Euclid 空间 134
1.2 范数及其性质 136
1.3 H？lder 不等式和 Минковский 不等式 137
2 度量空间 141
2.1 距离和度量空间 141
2.2 度量空间的其它例子 143
2.3 序列的收敛 145
2.4 开集和闭集 148
2.5 紧集 153
3 连续映射 158
3.1 连续映射及其性质 158
3.2 一致连续 161
3.3 压缩映射及其应用 163
4 Weierstrass 逼近定理 171
4.1 Стеклов 函数 171
4.2 Стеклов 函数的卷积表示 173
4.3 Weiersrass 逼近定理 174
4.4 Bernstein 多项式 177
习题 182
第五章 微分和可微映射 187
1 预备知识 187
1.1 向量值函数 187
1.2 线性变换及其矩阵 187
1.3 线性变换的复合 189
1.4 空间 L(Rn，Rm) 190
2 方向导数与偏导数 192
2.1 方向导数 192
2.2 偏导数 192
2.3 方向导数、偏导数存在与函数连续之关系 193
3 微分 194
3.1 微分的定义 194
3.2 可微性与连续性以及与方向导数存在性之间的关系 197
3.3 DF(X)的矩阵(Jacobian 矩阵) 200
3.4 链法则 202
3.5 C1类映射 208
4 隐函数存在定理及其应用 210
4.1 由一个方程确定的隐函数存在定理 212
4.2 由方程组确定的隐函数存在定理 218
4.3 反函数存在定理 229
4.4 条件极值 230
习题 239
第六章 Rn 内的积分 246
1 R1内的 Riemann 积分 246
1.1 〔a，b〕的分划 246
1.2 Riemann 积分 247
1.3 Darboux 积分 249
1.4 Darboux 可积的充要条件 252
1.5 Darboux 可积与 Riemann 可积的关系 256
1.6 积分的基本性质 258
2.1 n 维区间的容积 266
2 Rn 内的容积 266
2.2 有界点集的容积 269
3 Rn 内积分 273
3.1 分划 273
3.2 Rn 内的 Riemann 积分 274
3.3 Rn 内的 Darboux 积分 276
3.4 Darboux 可积的充要条件 278
3.5 D-可积与 R-可积的关系 278
4 重积分的计算 283
4.1 化积分为累次积分 283
4.2 重积分的变量替换 288
5 微分形式与外微分 307
5.1 坐标变换与空间的定向 307
5.2 一次微分形式及其积分 310
5.3 二次微分形式及其积分 313
5.4 三次微分形式及其积分 321
5.5 推广 323
5.6 外微分 325
5.7 Stokes 公式 327
习题 330
附录 Lebesgue 积分 335
1 零测度集 336
2 简单函数及其积分 337
3 简单函数的单调序列 338
4 C1类函数及其积分 343
5 一般区间Ⅰ上的 Lebesgue 积分及其性质 349
6 Levi 单调收敛定理 354
7 Lebesgue 控制收敛定理与 Fatou 定理 359
8 可测函数与可测集 364
9 平方可积函数类 L2(Ⅰ) 370
习题 376