第一章 √2的发现和毕达哥拉斯学派的危机 1
1.历史的回顾 1
2.√2的发现和数学基础的第一次危机 3
3.定理2.1的推广和定理1.1通解的研究 5
4.从毕达哥拉斯数的研究到费尔玛的猜测 11
第二章 欧几里得的局限和几何基础研究的意义 19
1.历史的概述和《几何原本》的产生 19
2.关于第 V 公设的争论 23
3.非欧几里得几何的研究和“唯一可能”的几何的否定 27
4.几何基础的研究和公理化方法的发展 30
1.无穷小的分析和第二次数学基础的危机 38
第三章 神秘的微分学和分析算术化 38
2.在数学界以外产生的反响——《分析学者》 41
3.三十年代的批判运动和分析算术化 44
4.实数概念的定义和皮亚诺公理系统 47
5.自然数序列的良序性和加、乘的基本性质 50
第四章 布尔代数和现代逻辑的发展 57
1.布尔代数的建立和发展 57
2.布尔系统的形式演算及其解释 64
3.完全性、一致性和独立性 71
4.不是哲学的古董，而是一颗被冷落的明珠 74
第五章 集合和关系 79
1.历史的概述 79
2.集合和两个原则 82
3.包含关系：子集合与真子集合 84
4.集合的运算：并、交、求补 85
5.有序对、卡氏积、关系和函数 88
第六章 无穷集合和数学基础的第三次危机 95
1.基数 95
2.可数无穷集合 98
3.不可数集合 103
4.基数算术 103
5.有序集合 108
6.良序集合和序数 111
7.序数集合 114
8.序数算术 115
9.悖论 117
10.第三次基础危机 123
第七章 公理化集合论的发展及其争论 127
1.关于集合概念的康托定义和策梅罗公理系统 127
2.消除罗素悖论的初步方案和断定的“明确性”问题 133
3.选择公理和措恩引理 137
4.连续统假设 141
5.几点评述 147
第八章 命题逻辑 151
1.命题的基本定义 151
2.命题的逻辑函项 153
3.命题演算的基本变换 154
4.恒真性、可满足性和恒假 156
5.范式：合取范式和析取范式 158
6.优范式和范式的作用 160
7.系统的可推演性定义及定理 162
8.一致性、完全性和独立性 166
第九章 谓词逻辑 177
1.基本概念和定义 177
2.合式公式和基本规则 180
3.一阶谓词演算的公理和形式证明的定义 184
4.普遍有效性和可满足性 187
5.一阶理论φ的定义和解释 190
6.一致性、完全性和独立性 195
第十章 数论 205
1.数论形式系统的构造 205
2.基本运算与递归定义 210
3.原始递归函数 213
4.递归谓词 218
5.λ-转换演算 222
第十一章 哥德尔不完全性定理 229
1.元数学方法的定义 229
2.哥德尔配数法 231
3.谓词演算的不可判定性 233
4.哥德尔定理 240
第十二章 逻辑主义 246
1.什么是逻辑主义 246
2.罗素的数学观 247
3.逻辑斯谛 248
4.逻辑类型论 258
5.悖论的消除 264
6.几点评述 267
第十三章 直觉主义 270
1.什么是直觉主义 270
2.数学的可构造性 272
3.数学的无穷与逻辑的排中律 274
4.直觉主义的逻辑 279
第十四章 希尔伯特方案和形式主义 284
1.希尔伯特方案 284
2.希尔伯特的ε-算子 287
3.算术一致性的证明 289
4.形式主义 300
1.数学中的柏拉图主义 303
第十五章 柏拉图主义和拟经验主义 303
2.数学中的拟经验主义 305
3.局限性 308
第十六章 结论 310
1.什么是数学 310
2.数学的性质是什么 313
3.如何判别数学理论的真理性 314
4.关于无穷概念的哲学解释及数学概念的辩证法问题 318
附录 320
人名索引 320
术语索引 323
符号索引 331