第一章 数学方法论概述 1
1.1 数学方法论的研究对象 1
一、方法、方法论及数学方法论 1
二、数学方法论的研究对象 2
1.2 数学方法论的形成与发展 4
一、数学萌芽时期与数学方法的产生 4
二、常量数学时期与数学方法论的萌芽 5
三、变量数学时期与数学方法论的形成 5
四、近、现代数学时期与数学方法论学科的建立及发展 6
1.3 数学方法论的特点、意义及研究方法 9
一、数学方法论的基本特点 9
二、研究和学习数学方法论的意义 11
三、数学方法论的基本研究方法 13
第二章 数学观 16
2.1 数学的本质 16
一、数学的基本特点 16
二、数学的客观基础 21
三、数学的研究对象 24
四、数学理论的真理性 27
2.2 数学悖论、危机与数学无限观 31
一、数学悖论 31
二、数学危机 37
三、悖论的实质与无限观 41
一、逻辑主义学派 44
2.3 数学基础诸流派及哲学观 44
二、直觉主义学派 46
三、形式主义学派 48
四、数学基础论的现代哲学思潮 49
第三章 数学的发展 52
3.1 数学发展的几个直接动因 52
一、数学问题 52
二、数学观念 61
三、数学符号 65
四、数学美学标准 68
3.2 对数学发展中若干现象的辩证认识 71
一、对立理论的并存现象 71
二、多重、独立地发现同一结论现象 74
三、历史与逻辑的非一致现象 76
四、数学的分化与整合 77
五、极大的普适性与自我封闭性 79
六、是发现呢还是发明 80
七、计算机给数学带来的哲学思考 81
3.3 关于数学发展规律与模式的研究 82
一、亚历山大洛夫的数学发展观 83
二、怀尔德提出的数学发展23条规律 83
三、拉卡托斯的数学理论发展模式 86
四、柯朗与罗宾斯的数学发展观 87
五、斯蒂恩的数学球体结构发展理论 88
六、几点启示 89
一、化归的特征 90
第四章 数学化归原则 90
4.1 化归原则概说 90
二、化归的要素、模式和方向 92
三、化归的实质 93
4.2 化归的基本形式 93
一、特殊与一般的转化 93
二、整体与局部的转化 97
三、具体与抽象的转化 101
四、数与形的转化 102
五、化高为低 108
六、化正为反 109
七、化已知为未知 109
八、化无限为有限 110
一、映射方法 112
第五章 关系映射反演方法 112
5.1 RMI 方法概述 112
二、数学对象与关系结构 113
三、映射与反演 114
5.2 RMI 方法在数学中的应用 115
一、反映若干具体数学方法的共性与本质特征 115
二、作为探求证明数学命题的一种重要思路和方法 118
三、解决不可能性问题 122
四、解决理论的整体性结构问题 126
五、RMI 原理与数学创造 127
5.3 使用 RMI 方法的条件 129
6.1 数学公理化方法的意义 130
第六章 数学公理化方法 130
6.2 数学公理化方法的产生与发展 133
一、公理化方法的萌芽——亚里士多德三段论体系 133
二、实质公理化方法的产生——欧几里得几何公理体系 134
三、潜形式公理化阶段——非欧几何公理体系 135
四、形式公理化阶段——希尔伯特公理体系 136
五、纯形式公理化阶段——元数学的建立 137
6.3 公理化方法的特点与基本问题 138
一、公理化方法的特点 138
二、公理化方法的基本问题 139
三、对公理系统的检验 140
一、一个简单的实例 148
6.4 公理化方法的应用举例 148
二、几何公理方法的重要实例——希尔伯特公理体系 149
三、现代形式公理系统的基本结构及具体实例 151
四、关于中学数学中的几何公理体系及处理方法 152
6.5 对公理化方法的辩证认识 154
一、如何认识对同一对象的不同形式的公理描述 154
二、公理化方法是思维的“自由产物”呢还是建立在一定的客观基础之上的东西 155
三、公理化方法是万能的呢还是带有某种局限的方法 155
四、关于实质性的公理法与形式化的公理法 156
第七章 数学模型方法 157
7.1 数学模型的意义、类型及作用 157
一、数学模型 157
二、数学模型的分类 158
三、数学模型的作用 159
7.2 建立数学模型的步骤与途径 164
7.3 数学模型方法应用举例 166
7.4 数学模型方法与数学教育 173
一、数学建模竞赛 173
二、MM方法与数学教学改革 179
第八章 数学构造方法 183
8.1 构造法概述 183
一、构造法的特征 183
二、构造法的近、现代发展 184
三、构造性数学与非构造性数学的辩证关系 186
一、对中西古代数学的影响 188
8.2 构造方法在数学发展中的作用 188
二、对经典数学的构造性解释 190
三、对开拓数学新领域的作用 192
8.3 构造法在数学解题中的运用 192
第九章 数学中的逻辑思维方法 201
9.1 分类与类比 201
一、分类法 201
二、类比法 206
9.2 归纳与演绎 215
一、归纳法 215
二、演绎法 219
三、归纳与演绎的哲学论争 221
一、分析与综合的含义 223
9.3 分析与综合 223
二、分析法 224
三、综合法 229
四、分析与综合的统一 231
五、还原论与系统现 231
9.4 证明与反驳 233
一、证明法 233
二、反驳法 238
三、证明与反驳的数学探索价值 241
第十章 数学中的非逻辑思维方法 243
10.1 想象与联想 243
一、想象 243
二、联想 248
10.2 直觉与灵感 256
一、直觉 257
二、灵感 266
第十一章 数学美学方法 274
11.1 数学美 274
一、数学美的本质 274
二、数学发展中的数学美学思想掠影 277
三、数学美的表现形式 285
11.2 数学美学方法的运用 291
一、数学美学方法的特点 291
二、数学美学方法运用的基本途径 292
二、审美教育的功能 300
11.3 数学美育 300
一、审美教育的特征 300
三、数学审美教育的途径 301
四、数学美育的层次 302
第十二章 数学家的数学活动方法 303
12.1 笛卡儿——科学方法与数学理论的统一 303
一、笛卡儿的科学方法论 303
二、解析几何的方法论价值 305
三、笛卡儿模式及数学解题 308
12.2 欧拉——他的数学多产得力于他的数学思想方法 311
一、“他是一个顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练的巨匠” 311
二、合情推理的高手 315
三、抽象分析法与映射法 323
12.3 庞加莱—通过内省来研究数学创造的心理活动 324
一、数学构造性观点及对数学归纳法的认识 325
二、没有假设，科学家将寸步难行 326
三、对数学创造发明活动的心理分析 327
12.4 希尔伯特——以数学问题为杠杆推动数学前进 331
一、不循常规，独辟蹊径——果尔丹问题 331
二、类比、猜想、推广——代数数域理论 333
三、旧瓶装新酒——《几何基础》 334
四、妙手回春之术——挽救狄氏原理 335
五、数学问题——数学前进的杠杆 336
13.1 现代数学学派概说 339
一、哥廷根学派 339
第十三章 数学学派 339
二、波兰学派 342
三、布尔巴基学派 346
四、前苏联学派 351
13.2 对数学学派若干问题的认识 355
一、由几种现代观点看数学学派 355
二、数学学派形成及发展的基本形式 360
三、数学学派研究方法特色分析 364
第十四章 数学方法的现代发展 368
14.1 集合观念的嬗变与数学方法的拓展 368
一、传统集合观念面临的挑战 369
二、集合观念的重大突破 370
三、集合多元化及对数学方法的拓展 372
14.2 20世纪数学思想方法的发展足迹 374
一、高度的抽象化建立起现代数学基础的新支柱 374
二、对标准与常规方法的叛逆冲破了传统的理论禁区 376
三、任何领域都阻挡不住数量化的进程 379
四、计算机带来数学思想方法的新突破 382
14.3 数学方法的现代发展趋势 383
一、抽象化方法呈现新特点 383
二、综合性方法日显威力 385
三、反常规方法将独领风骚 386
四、渗透性方法使数学四处结缘 387
五、计算机方法大有用武之地 387
主要参考文献 389