绪论 1
第一章 复数与复变函数 4
1 复数及其代数运算 4
(一)复数概念 4
(二)复数的运算 5
(三)复数的其它表示法及几何解释 9
(四)平面点集 16
(五)解题示范 22
2 复变函数 25
(一)复变函数概念 25
(二)复变函数的几何表示 27
(三)复变函数的极限 30
(四)复变函数的连续 35
(五)无穷远点 37
(六)解题示范 38
1 解析函数概念 41
(一)导数定义 41
第二章 解析函数 41
(二)C—R 条件 43
(三)函数解析的概念 47
(四)解析函数性质的初步讨论 48
(五)共轭调和函数 53
(六)解题示范 56
2 初等解析函数 60
(一)初等单值函数 60
(二)初等多值函数 68
(三)解题示范 80
第三章 复变函数的积分 87
1 积分概念 87
(一)积分定义 87
(二)积分存在的条件 89
(三)积分的计算 90
(四)积分的性质 93
(五)解题示范 95
2 柯西积分定理 96
(一)柯西积分定理 96
(二)不定积分 99
(三)复闭路情形下的柯西积分定理 103
(四)解题示范 105
3 柯西积分公式 112
(一)引言 112
(二)柯西积分公式 112
(三)解析函数的无限次可微性 116
(四)由柯西公式导出的几个定理 120
(五)解题示范 124
(一)复数项级数 128
第四章 台劳级数 128
1 级数的基本概念 128
(二)复变函数项级数 131
(三)维尔斯特拉斯定理 136
(四)幂级数 137
(五)解题示范 141
(六)阿贝尔第二定理 143
2 解析函数的幂级数展开 146
(一)台劳展式 146
(二)初等函数的幂级数展开 149
(三)函数的台劳展式收敛半径的确定 151
(四)解题示范 153
3 由解析函数的幂级数理论导出的几个定理 159
(一)解析函数零点的孤立性 159
(二)解析函数的唯一性 161
(三)解析函数的最大模原理 163
(四)解题示范 165
(一)两端(或双边)幂级数 169
1 罗朗级数 169
第五章 罗朗级数 169
(二)罗朗级数 171
(三)解题示范 175
2 利用罗朗级数讨论孤立奇点 179
(一)孤立奇点的概念 179
(二)解析函数在孤立奇点的罗朗展开 180
(三)孤立奇点的性质的进一步讨论 182
(四)解题示范 190
(一)解析函数在无穷远点的性质 192
3 解析函数在无穷远点的性质 192
(二)整函数与亚纯函数概念 196
第六章 残数理论及其应用 200
1 残数基本定理与残数计算 200
(一)残数定义 200
(二)残数基本定理 202
(三)残数的计算 203
(四)解题示范 206
(五)关于无穷远点的残数 209
(一)关于 ∫?R(cosθ，sinθ)dθ 型积分的计算 212
2 残数应用于实积分计算 212
(二)关于广义积分的计算 214
(三)多值函数的积分 230
3 幅角原理及其应用 237
(一)引言 237
(二)对数残数 239
(三)幅角原理 242
(四)儒歇定理 243
(五)应用 246
第七章 保形变换 251
1 保形变换概念 251
(一)导数的几何意义和保形变换概念 251
(二)解析函数的保域性 255
(三)单叶解析函数的保形性 257
2 保形变换的基本问题 260
(一)引言 260
(二)保形变换的基本问题 263
(三)边界对应原理 268
3 线性变换 272
(一)线性变换的分解 272
(二)线性变换的保形性 275
(三)线性变换的保圆性 277
(四)线性变换的保对称点性 281
(五)线性变换的保交比性 284
(六)几种典型区域之间的保形变换 286
(七)解题示范 291
(一)初等函数的映射 294
4 初等保形变换 294
(二)二角形区域的保形变换 298
(三)关于机翼剖面函数 304
(四)解题示范 310
第八章 解析开拓 317
1 对称原理 317
(一)引言 317
(二)对称原理的特殊形式 318
(三)对称原理的一般形式 321
(一)解析开拓的一般概念 325
(四)弧对称原理与透弧开拓 325
2 解析开拓的一般概念与幂级数法 325
(二)完全解析函数与自然边界 329
(三)幂级数法 331
3 黎曼面概念 334
(一)w=?z 的黎曼面 334
(二)w=?z 的黎曼面 336
(三)w=Lnz 的黎曼面 337
(一)实分析中 Γ 函数的开拓 338
4 Γ 函数 338
(二)Γ 函数的基本性质 340
5 多角形变换 344
(一)上半平面到矩形的保形变换 344
(二)上半平面到多角形的保形变换 349
第九章 调和函数 356
1 调和函数的性质 356
(一)均值公式 356
(二)极值原理 357
(三)波阿松公式 358
2 狄里克莱问题 359
(一)狄里克莱问题的提法 359
(二)狄里克莱问题解的唯一性与稳定性 360
(三)单位园内狄里克莱问题的解 361
(四)上半平面内狄里克莱问题的解 366
附录Ⅰ 柯西定理的古莎证明 369
附录Ⅱ 本书主要内容示意图 375
附录Ⅲ 各类人员试题解答选编 376