引言 1
1 微积分与初等数学的比较 1
2 微积分是变量的数学 2
3 微积分是辩证法在数学中的运用 4
第一章 变量与函数 16
1 变量 16
一、变量与常量 16
二、区间 18
2 实践中的函数关系(举例) 20
3 函数概念 25
一、函数的定义域 25
二、函数的表示法 27
三、反函数 28
4 函数符号 31
一、函数符号 31
二、函数值符号 32
5 建立函数式 42
一、推导理论公式 43
二、寻求经验公式 60
1.选型定参 60
2.插值 65
6 函数的增量匀变与非匀变 78
一、函数的增量 79
二、匀变与非匀变 83
简短的结语 88
第二章 极限 92
1 几类基本变量 92
一、无穷小变量 92
二、无穷大变量 99
三、有极限的变量 103
1.极限的概念 103
2.极限的四则运算法则 105
3.极限过程中的变量值与极限值之关系 109
四、有界变量 111
2 函数的极限 113
一、函数的极限 113
二、初等函数的极限 115
三、待定型 121
3 极限存在的两个判别准则及其应用 127
4 无穷小与无穷大的阶 138
一、无穷小的阶 138
二、无穷大的阶 140
5 函数的连续性 141
一、连续函数的概念 141
二、初等函数的连续性 143
三、连续函数的性质 143
四、间断点 146
6 极限方法应用举例 152
简短的结语 160
第三章 导数与微分 163
1 导数的概念 163
一、实践中的变化率问题 163
二、导数的定义 167
三、计算导数的一般方法 171
四、导数的几何意义 176
五、变化率问题再举例 185
2 导数的计算 194
一、基本初等函数的求导公式(包括反函数求导法则) 195
二、导数运算的基本法则 204
A.导数的四则运算法则 204
1.常数乘函数的求导法则 204
2.函数和、差的求导法则 207
3.函数积的求导法则 210
4.函数商的求导法则 212
B.复合函数求导法则 217
1.什么叫复合函数 218
2.复合函数求导法则及释例 219
3.求隐函数的导数 246
4.求由参数方程所确定的函数的导数 249
三、高阶导数 251
3 微分中值定理 258
一、罗尔定理 259
二、拉格朗日中值定理 261
三、柯西中值定理 264
4 导数的应用 268
一、分析曲线 268
A.分析曲线的基本方法 268
1.如何判断曲线的升降 268
2.怎样找曲线的峰、谷点 272
3.如何判断曲线的凹、凸性和确定拐点的位置 282
4.曲线特征的综合分析——函数作图法 289
B.曲线分析在物探中的应用举例 300
1.特殊点法 301
2.切线法 312
3.空间场法 317
二、最大最小值问题 330
三、罗必达法则 350
5 微分 360
一、微分的概念 360
二、微分的计算 370
三、微分的应用 374
A.近似计算 374
B.误差估计 383
1.绝对误差和相对误差 383
2.利用微分估计误差 384
四、高阶微分 390
简短的结语 392
第四章 积分 395
1 定积分的概念与性质 395
一、实践中的定积分问题 395
二、定积分的定义 403
三、定积分的几何意义 405
四、定积分存在的充分条件 409
五、定积分的性质 413
2 微积分学基本定理 423
一、原函数 423
二、微积分学基本定理 426
1.物理模型 426
2.微积分学基本定理 427
三、定积分与微分的联系 431
3 不定积分的概念和性质 439
一、不定积分的概念 440
二、基本积分公式表 443
三、不定积分的性质 446
4 积分的计算 447
一、直接积分法 447
二、不定积分的换元法 454
1.引例 454
2.不定积分换元法则 456
3.简单换元 456
4.较复杂的换元 478
5.有理函数的积分 486
三、定积分的换元法 499
四、不定积分的分部积分法 503
五、定积分的分部积分法 511
六、利用积分表求积分 513
5 广义积分 522
一、无穷限积分 522
二、无界函数的积分 526
三、广义积分收敛性判别法 530
6 定积分的应用 539
一、面积 540
二、弧长 548
三、旋转体的体积 552
四、功 555
五、平均值 561
六、几种均匀磁化简单形体的磁异常 569
〔附〕“等效磁荷”的概念 588
7 近似积分法 593
一、数方格法 594
二、称质量法 596
三、面积仪法 597
四、等距结点求积法 597
1.矩形法 598
2.梯形法 600
3.抛物线法 602
五、非等距结点求积法 608
六、提“常量因子”法 617
简短的结语 624