绪论—现代数学的特点和意义 1
一、现代数学是数学发展的新阶段 1
二、现代数学的特点 2
三、普及现代数学教育的意义 12
第一章 集合与映射 15
1 逻辑命题及其相反命题的表述 15
2 集合及其运算 17
3 二元关系 21
4 映射 23
5 序结构 26
6 实数集 30
7 集合的势 34
8 数学系统和其同构 42
习题一 43
第二章 代数系统 46
1 代数运算及一些常见的运算律 46
2 一些常见的代数系统 48
3 线性空间 56
4 线性算子与线性泛函 61
5 张量空间 67
6 外积和外代数 71
习题二 80
第三章 拓扑空间和距离空间 84
1 拓扑空间 84
2 距离空间 88
3 拓扑空间中的各种点集 93
4 拓扑空间中的收敛 101
5 连续映射和同胚映射 107
6 拓扑空间中的连通性 110
7 完备距离空间 114
8 紧集和列紧集 124
9 距离空间上的函数族 132
习题三 138
第四章 测度与积分 141
1 可测空间与测度空间 141
2 外测度及由它导出的测度 145
3 Rn上的勒贝格测度 149
4 可测函数 153
5 可测函数的积分 159
6 R上的黎曼积分和勒贝格积分 169
7 L空间和L2空间 173
习题四 179
第五章 拓扑线性空间 181
1 基本数学结构的复合 181
2 拓扑线性空间 182
3 距离线性空间 184
4 赋范空间 186
5 内积空间 193
6 赋范空间中的有界线性算子 200
7 赋范空间的微分学 206
8 广义函数 225
9 欧氏空间Rn中的张量 234
习题五 240
第六章 Banach空间及其上的算子 244
1 有限维赋范空间 244
2 开映照定理和闭图定理 248
3 有界线性泛函的延拓定理 253
4 有界线性算子序列 258
5 赋范空间中的伴随算子 263
6 有界线性算子的正则点和谱点 266
7 全连续线性算子 270
8 全连续线性算子方程 277
习题六 288
第七章 Hilbert空间及其上的算子 291
1 正交集和广义富氏级数 291
2 Hilbert空间的正交分解和正交归一基 296
3 Hilbert空间的对偶空间和伴随算子 303
4 Hilbert空间的自伴线性算子 308
5 全连续自伴线性算子方程 314
6 对线性积分方程的应用 320
习题七 324
第八章 流形上的微积分 327
1 流形 327
2 微分流形 333
3 流形在欧氏空间中的嵌入 336
4 流形上的切空间、余切空间 340
5 流形上的微分形式 346
6 微分形式的外微分 353
7 微分流形的定向 362
8 流形上微分形式的积分 367
9 广义Stokes公式 375
习题八 384
参考书目 388