第一章 一些典型方程和定解条件的推导 1
1.1 基本方程的建立 1
1.2 初始条件与边界条件 11
1.3 定解问题的提法 15
习题一 17
第二章 分离变量法 19
2.1 有界弦的自由振动 19
2.2 有限长杆上的热传导 30
2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 34
2.4 非齐次方程的解法 38
2.5 非齐次边界条件的处理 43
2.6 关于二阶常微分方程固有值问题的一些结论 51
习题二 54
3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 58
第三章 行波法与积分变换法 58
3.2 三维波动方程的泊松公式 65
3.2.1 三维波动方程的球对称解 65
3.2.2 三维波动方程的泊松公式 66
3.2.3 泊松公式的物理意义 72
3.3 积分变换法举例 75
习题三 83
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 85
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 85
4.2 格林公式 87
4.3 格林函数 93
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解 96
4.4.1 半空间的格林函数 96
4.4.2 球域的格林函数 97
习题四 100
5.1 贝塞尔方程的引出 101
第五章 贝塞尔函数 101
5.2 贝塞尔方程的求解 103
5.3 当n为整数时贝塞尔方程的通解 107
5.4 贝塞尔函数的递推公式 109
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 112
5.5.1 贝塞尔函数的零点 112
5.5.2 贝塞尔函数的正交性 114
5.6 贝塞尔函数的应用举例 117
5.7 贝塞尔函数的其他类型 122
5.7.1 第三类贝塞尔函数 122
5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数 123
5.7.3 开尔文函数 124
5.8 贝塞尔函数的渐近公式 125
习题五 126
6.1 勒让德方程的引出 129
第六章 勒让德多项式 129
6.2 勒让德方程的求解 131
6.3 勒让德多项式 134
6.4 函数展成勒让德多项式的级数 137
6.4.1 勒让德多项式的正交性 137
6.4.2 函数展成勒让德多项式的级数 139
6.5 连带的勒让德多项式 145
习题六 148
7.1 将微分方程化成差分方程 150
第七章 数学物理方程的差分解法 150
7.2 拉普拉斯方程的差分格式 153
7.3 热传导方程的差分格式 159
7.4 波动方程的差分格式 161
习题七 163
附录A ？函数的基本知识 164
附录B 傅氏变换与拉氏变换简表 169
习题答案 172