第0章 绪论 1
0.1 数值计算方法与算法 1
0.2 误差与有效数字 1
0.3 约束误差 3
0.4 范数 3
0.4.1 向量范数 3
0.4.2 矩阵范数 5
第1章 插值 9
1.1 插值 9
1.2 多项式插值的拉格朗日(Lagrange)型式 9
1.2.1 线性插值 10
1.2.2 二次插值 11
1.2.3 n次拉格朗日插值多项式 13
1.3 多项式插值的牛顿(Newton)型式 16
1.3.1 差商及其计算 17
1.3.2 牛顿插值 18
1.4 Hermite插值 21
1.5 分段插值 24
1.5.1 龙格(Runge)现象 24
1.5.2 分段线性插值 25
1.6 三次样条函数 27
1.6.1 三次样条插值的M关系式 27
1.6.2 三次样条插值的m关系式 29
1.7 程序示例 30
习题1 34
2.1 数值微分 36
2.1.1 差商与数值微分 36
第2章 数值微分和数值积分 36
2.1.2 插值型数值微分 38
2.1.3 样条插值数值微分 39
2.2 数值积分 39
2.2.1 插值型数值积分 40
2.2.2 牛顿-柯特斯(Newton-Cote s)积分 41
2.3 复化数值积分 44
2.3.1 复化梯形积分 44
2.3.2 复化辛普森积分 46
2.3.3 复化积分的自适应算法 47
2.3.4 龙贝格(Romberg)积分 50
2.4 重积分计算 51
2.5 高斯型积分公式介绍 52
2.6 程序示例 54
习题2 57
第3章 曲线拟合的最小二乘法 59
3.1 拟合曲线 59
3.2 线性拟合和二次拟合函数 60
3.3 解矛盾方程组 63
3.4 程序示例 69
习题3 72
第4章 非线性方程求根 74
4.1 实根的对分法 74
4.2 迭代法 75
4.3 牛顿迭代法 77
4.4 弦截法 80
4.5 非线性方程组的牛顿方法 81
4.6 程序示例 83
习题4 85
第5章 解线性方程组的直接法 86
5.1.1 三角形方程组的解 87
5.1 消元法 87
5.1.2 高斯(Gauss)消元法与列主元消元法 88
5.1.3 Guass-Jordan消元法 93
5.2 直接分解法 94
5.2.1 Doolittle分解 96
5.2.2 Courant分解 100
5.2.3 追赶法 102
5.2.4 对称矩阵的LDLT分解 103
5.3 矩阵的条件数 105
5.4 程序示例 106
习题5 114
第6章 解线性方程组的迭代法 116
6.1.1 Jacobi迭代格式 117
6.1 简单(Jacobi)迭代 117
6.1.2 Jacobi迭代收敛条件 119
6.2 Gauss-Seidel迭代 120
6.3 松驰迭代 123
6.4 逆矩阵计算 124
6.5 程序示例 125
习题6 130
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量 132
7.1 幂法 132
7.1.1 幂法运算 132
7.1.2 幂法的规范运算 135
7.1.3 关于幂法的初始值 137
7.2 反幂法 137
7.3 实对称矩阵的Jacobi方法 138
7.4 程序示例 144
习题7 147
第8章 常微分方程数值解 148
8.1 欧拉(Euler)公式 148
8.1.1 基于数值微商的欧拉公式 148
8.1.2 欧拉公式的收敛性 151
8.1.3 基于数值积分的近似公式 152
8.2 龙格-库塔方法 153
8.2.1 二阶龙格-库塔方法 153
8.2.2 四阶龙格-库塔公式 155
8.2.3 步长的自适应 157
8.3 线性多步法 157
8.4.1 一阶常微分方程组的数值解法 160
8.4 常微分方程组的数值解法 160
8.4.2 高阶常微分方程数值方法 162
8.5 常微分方程的稳定性 163
8.6 程序示例 165
习题8 168
第9章 在Mathematica中做题 169
9.1 符号计算系统Mathematica基本操作 169
9.2 插值 172
9.3 数值积分 173
9.4 曲线拟合 174
9.5 非线性方程 175
9.6 方程组求解 176
9.7 计算特征值和特征向量 177
9.8 常微分方程数值解 178
参考文献 181