一 证明的由来 1
1.1 证明的作用是什么 2
1.2 数学证明的由来 4
1.3 古代希腊的数学证明 5
1.4 证明方法不限于数学 7
1.5 东方古代社会的数学证明 9
二 证明的功用 14
2.1 直观可靠吗 15
2.2 证明可靠吗 24
2.3 证明是完全客观的吗 28
2.4 证明与信念 34
2.5 证明与理解 40
三 证明与理解(一) 46
3.1 一个数学认知能力的实验 46
3.2 二次方程的解的公式 51
3.3 希腊《原本》里的勾股定理 53
3.4 刘徽的一题多证 55
3.5 高斯的一题多证 60
四 证明与理解(二) 66
4.1 欧拉的七桥问题 66
4.2 欧拉的多面体公式 74
4.3 几个重要的不等式 82
五 证明与理解(三) 90
5.1 一条关于正多边形的几何定理 91
5.2 薄饼与三明治 93
5.3 微积分基本定理 96
5.4 舞伴的问题 100
5.5 几个著名的反例 101
六 证明与理解(四) 111
6.1 四色问题 111
6.2 费尔玛最后定理 116
6.3 一致收敛的函数序列 119
7.1 两个古老的反证法证明 123
七 反证法 123
7.2 间接证明与反证法 125
7.3 逆否命题 126
7.4 史坦纳—李密士定理 128
7.5 反证法在数学以外的运用 130
八 存在性证明 132
8.1 两个头发根数相同的人 132
8.2 一条古老的存在性定理 135
8.3 数学乎?神学乎 136
8.4 高斯类数猜想的征服 138
8.5 存在性证明的功用 141
8.6 极值问题的解的存在性 144
8.7 有理数与无理数 147
8.8 代数数与超越数 148
9.1 十五方块的玩意 153
九 不可能性证明 153
9.2 一个很古老的不可能性证明 156
9.3 古代三大难题 158
9.4 不可能证明的证明 162
9.5 希尔伯特的问题 167
十 一次亲身经历：最长周长的内接多边形 173
10.1 一个熟悉的问题 173
10.2 初步的试验结果 175
10.3 旁敲侧击 176
10.4 艰苦战斗 178
10.5 拨开云雾见青天 182
10.6 各归其位 184
10.7 余音未了 188
后记 191
外国人名索引 192