第一章 绪论 1
1.1 数值计算方法的任务 1
1.2 误差基本知识 2
1.2-1 误差的来源 2
1.2-2 绝对误差、相对误差和有效数字 3
1.2-3 数值运算的误差估计 7
1.3 选用数值算法的若干注意之点 9
习题一 13
第二章 插值法 16
2.1 引言 16
2.1-1 插值问题 16
2.1-2 插值多项式的存在唯一性 17
2.1-3 几何意义与插值余项 18
2.2 拉格朗日插值多项式 18
2.2-1 拉格朗日插值多项式的构造 18
2.2-2 插值余项表达式 21
2.3 差商和牛顿插值公式 23
2.3-1 差商的定义及其性质 23
2.3-2 牛顿插值多项式及其余项 26
2.4 差分与等距节点插值公式 29
2.4-1 差分的定义 29
2.4-2 差分的性质 30
2.4-3 等距节点插值公式与差分表 32
2.5 埃尔米特插值 35
2.5-1 低次埃尔米特插值多项式 36
2.5-2 一般埃尔米特插值多项式 38
2.6 分段插值法 40
2.6-1 分段线性插值函数 42
2.6-2 分段二次插值函数 43
2.7 三次样条插值 44
2.7-1 三次样条插值的定义 44
2.7-2 三次样条插值函数的构造 45
习题二 52
第三章 平方逼近与正交多项式 55
3.1 正交多项式 56
3.1-1 正交多项式的概念 56
3.1-2 正交多项式的性质 57
3.1-3 切比晓夫多项式 61
3.1-4 勒让德多项式 64
3.1-5 拉盖尔多项式与埃尔米特多项式 66
3.2 最佳平方逼近 67
3.2-1 函数的最佳平方逼近 67
3.2-2 用正交函数系作最佳平方逼近 71
3.3 数据的最小二乘曲线拟合 76
3.3-1 最小二乘曲线拟合的概念 76
3.3-2 用多项式进行最小二乘曲线拟合 78
3.3-3 正交多项式在曲线拟合中的应用 83
习题三 87
4.1 引言 89
4.1-1 数值求积的基本思想与求积公式 89
第四章 数值积分与数值微分 89
4.1-2 求积公式的代数精确度 90
4.2 牛顿—柯特斯公式 91
4.2-1 插值型求积公式 91
4.2-2 牛顿-柯特斯公式 92
4.2-3 求积公式的截断误差 95
4.3 复化求积公式 98
4.3-1 复化梯形公式 99
4.3-2 复化辛甫生公式和复化柯特斯公式 100
4.4-3 区间逐次分半求积法 103
4.4 龙贝格求积算法 106
4.5 高斯型求积公式 109
4.5-1 高斯-勒让德求积公式 111
4.5-2 高斯型求积公式的余项 113
4.5-3 高斯型求积公式的稳定性 114
4.5-4 带权的高斯型求积公式 115
4.6 数值微分 118
习题四 119
第五章 方程求根 122
5.1 二分法 122
5.1-1 在有根区间内仅有一个实单根的情况 122
5.1-2 在有根区间内不止一个实根的情况 124
5.2 迭代法 126
5.2-1 简单迭代法 126
5.2-2 迭代收敛的加速 130
5.3-1 牛顿法 133
5.3 牛顿法 133
5.3-2 迭代收敛的阶 135
5.3-3 牛顿法的改进 137
5.4 弦割法 139
5.5 抛物线法 140
5.6 非线性方程组的解法 143
习题五 145
第六章 解线性方程组的直接方法 148
6.1 消去法 149
6.1-1 高斯消去法 149
6.1-2 高斯主元消去法 152
6.1-3 高斯-约当消去法 155
6.1-4 方阵求逆 157
6.2 矩阵分解及其在解方程组中的应用 162
6.2-1 高斯消去法的矩阵形式 162
6.2-2 矩阵的三角分解 165
6.2-3 选主元的三角分解法解方程组 168
6.2-4 追赶法 170
6.2-5 平方根法 173
6.3 向量和矩阵的范数及方程组的性态 177
6.3-1 向量的范数 177
6.3-2 矩阵的范数 179
6.3-3 方程组的性态 182
习题六 186
7.1 雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代 189
7.1-1 雅可比迭代 189
第七章 解线性方程组的迭代法 189
7.1-2 高斯-赛德尔迭代 191
7.2 迭代的收敛性 192
7.3 超松驰迭代法 196
习题七 200
第八章 矩阵特征值和特征向量的计算 202
8.1 乘幂法与反幂法 202
8.1-1 乘幂法 202
8.1-2 原点平移法 207
8.1-3 雷利商加速法 208
8.1-4 反幂法 210
8.2 雅可比法 212
8.2-1 古典雅可比法 213
8.2-2 雅可比过关法 217
8.3 QR 方法 219
8.3-1 QR 分解 219
8.3-2 反射矩阵 220
8.3-3 用反射变换化 A 为上 Hessenberg 阵 220
8.3-4 带原点平移的 QR 方法 223
8.4 二分法求矩阵特征值 224
8.4-1 矩阵 A 的特征多项式序列的性质 225
8.4-2 特征值的计算 230
习题八 233
第九章 常微分方程初值问题的数值解法 236
9.1-1 欧拉方法的构造 237
9.1 欧拉方法与改进的欧拉方法 237
9.1-2 后退的欧拉公式 239
9.1-3 改进的欧拉方法 240
9.1-4 数值方法的收敛性、误差估计和稳定性 243
9.2 龙格-库塔方法 247
9.2-1 泰勒方法 247
9.2-2 龙格-库塔方法的基本思想与二阶公式的推导 249
9.2-3 四阶龙格-库塔方法 252
9.2-4 步长的自动选择 255
9.3 线性多步法 256
9.3-1 阿达姆斯显式公式 257
9.3-2 阿达姆斯隐式公式 260
9.3-3 阿达姆斯预测-校正方法 262
9.3-4 基于泰勒展开的方法 263
9.3-5 哈明方法 267
9.4 一阶方程组与高阶方程 268
9.4-1 一阶方程组 268
9.4-2 高阶方程 270
习题九 272
第十章 椭圆型方程边值问题的差分解法 275
10.1 常微分方程边值问题的差分解法 275
10.1-1 差分格式的构造 275
10.1-2 差分方程的可解性及误差估计 276
10.1-3 解差分方程组的追赶法 280
10.1-4 一般二阶常微分方程的第三边值问题 281
10.2 椭圆形差分格式的构造 283
10.2-1 微分方程的差分近似 284
10.2-2 边值条件的处理 292
10.3 差分方程解的存在唯一性、收敛性及误差估计 295
10.4 差分方程的解法 300
10.4-1 椭圆形差分方程的一些特征 300
10.4-2 差分方程的迭代解法 302
习题十 307
第十一章 抛物型方程的差分解法 311
11.1 古典差分格式的构造 312
11.1-1 最简显式格式 312
11.1-2 最简隐式格式 314
11.1-3 李查逊格式 316
11.1-4 六点对称格式 317
11.2 差分格式的收敛性与稳定性 318
11.2-1 分析稳定性的ε—图方法 319
11.2-2 古典差分格式的稳定性 321
11.2-3 关于差分格式的收敛性 325
11.3 二维热传导方程的交替方向格式 326
11.3-1 P-R 格式 327
11.3-2 D-R 格式 328
习题十一 329
第十二章 双曲型方程的差分解法 332
12.1 双曲型方程混合问题的差分解法 332
12.1-1 差分格式的建立 332
12.1-2 差分格方的稳定性 335
12.1-3 差分格式的收敛性 338
12.2-1 偏心差分格式 341
12.2 一阶方程的差分方法 341
12.2-2 Lax 格式 344
12.2-3 Lax-Wendroff 格式 345
12.3 特征线法与特征—差分方法 347
12.3-1 特征线法 349
12.3-2 特征—差分方法 350
12.3-3 一阶双曲型方程组 354
习题十二 358
第十三章 微分方程的有限元方法 361
13.1 变分原理与古典变分方法 361
13.1-1 初等变分原理的实例 361
13.1-2 常微分方程边值问题的变分原理 366
13.1-3 二阶椭圆形方程边值问题的变分原理 371
13.1-4 古典变分方法 380
13.2 常微分方程边值问题的有限元方法 388
13.2-1 剖分与插值 389
13.2-2 有限元方程的形成 391
13.2-3 举例 398
13.3 二阶椭圆形方程的有限元解法 399
13.3-1 元单剖分与分片插值 400
13.3-2 有限元方程的形成 411
13.3-3 有限元方程的求解 417
13.3-4 收敛性与误差估计 418
习题十三 423
习题答案 427
参考书目 443