前言 1
1.数列的极限 1
1.1 简要的历史回顾 1
1.2 从矩形的面积说起 逼近法 3
1.3 实数系连续性的解析表达 4
1.4 数列极限的性质和运算 5
1.5 无穷大量 11
1.6 单调有界数列 12
1.7 一些否定命题的表达和反证法 16
1.8 子列BQlzano-Weierstrass定理 17
习题 19
2.函数极限 22
2.1 函数 22
2.2 函数极限的定义 25
2.3 函数极限的性质和运算 28
2.4 两个有用的例 32
2.5 无穷小量的阶 33
习题 34
3.连续函数 38
3.1 连续和间断 38
3.2 上(下)确界 42
3.3 闭区间上连续函数的性质 44
3.4 连续的反函数存在定理 46
3.5 一致连续 47
习题 50
4.1 基本定理的等价性 53
4.再论几个基本定理 53
4.2 闭区间上连续函数性质的其他证明 54
习题 56
5.导数 57
5.1 导数的概念 57
5.2 导数的运算法则 61
5.3 隐函数和参数方程的求导 65
5.4 微分 67
5.5 高阶导数和高阶微分 69
习题 73
6.1 微分学中值定理 78
6.导数的应用 78
6.2 函数的单调性、极值和凸性 82
6.3 L′Hospital法则 95
6.4 Taylor公式 100
6.5 求方程根的近似值 105
习题 106
7.不定积分 109
7.1 不定积分的概念 109
7.2 不定积分的换元法 112
7.3 不定积分的分部积分法 116
7.4 有理函数的积分法 119
7.5 一些可有理化的不定积分 124
习题 129
8.定积分 134
8.1 定积分的定义 134
8.2 积分存在的条件 137
8.3 Riemann可积函数的特征 139
8.4 定积分的性质 144
8.5 微积分的基本定理 147
8.6 定积分的换元法和分部积分法 150
8.7 其他例题 153
8.8 平面图形的面积 159
8.9 曲线的弧长和曲率 161
8.10 体积 167
8.11 旋转曲面的面积 169
8.12 平均值 171
8.13 定积分在物理上的应用 173
8.14 Stirling公式 178
8.15 定积分的近似计算 180
习题 183
9.数项级数 189
9.1 数列的上极限和下极限 189
9.2 Cauchy收敛准则 192
9.3 级数收敛的概念 194
9.4 正项级数的收敛判别法 198
9.5 任意项级数的收敛判别法 203
9.6 绝对收敛级数的性质 208
9.7 级数的乘积 210
9.8 无穷乘积 212
习题 213
10.反常积分 217
10.1 反常积分收敛的概念 217
10.2 反常积分的收敛判别法 221
10.3 反常积分的计算和主值 227
习题 230
11.函数项级数 232
11.1 一致收敛的概念 232
11.2 一致收敛的性质 235
11.3 一致收敛的判别法 238
11.4 幂级数 240
11.5 函数的幂级数展开 245
习题 247
12.Euclid空间上的拓扑和映射 251
12.1 Euclid空间的概念 251
12.2 Euclid空间的基本拓扑 252
12.3 Euclid空间上的映射 259
12.4 多元函数的极限 261
12.5 连续映射 265
习题 268
13.偏导数和偏导数的应用 270
13.1 偏导数和全微分的概念 270
13.2 链式规则 277
13.3 隐函数求导 281
13.4 微分表达式的变量代换 285
13.5 隐函数存在定理 288
13.6 空间曲线的切线和法平面 293
13.7 曲面的切平面和法线 297
13.8 方向导数和梯度 300
13.9 Taylor公式 304
13.10 多元函数的极值 305
13.11 条件极值 313
习题 318
14.重积分 326
14.1 闭矩形上的重积分 326
14.2 可度量区域上的重积分 332
14.3 外积和重积分的变量代换 342
14.4 n重积分的例 357
14.5 反常重积分 359
习题 369
15.曲线积分和曲面积分Stokes公式 373
15.1 第一类曲线积分 373
15.2 第二类曲线积分 378
15.3 曲面的面积 386
15.4 第一类曲面积分 390
15.5 第二类曲面积分 394
15.6 Green公式和Gauss公式 403
15.7 外微分Stokes公式 414
15.8 曲线积分与路径的无关性 保守场 420
15.9 散度、旋度和微分算子？ 426
习题 430
16.含参变量积分 435
16.1 含参变量的常义积分 435
16.2 含参变量反常积分的一致收敛 442
16.3 含参变量反常积分的性质 446
16.4 几个重要的反常积分 448
16.5 Γ函数和B函数 453
习题 458
17.Fourier级数 461
17.1 周期函数展开为Fourier级数 461
17.2 Fourier级数的复数形式 471
17.3 收敛判别法的证明 473
17.4 最佳平方平均逼近 480
17.5 Fourier积分 482
17.6 Fourier变换 485
习题 490
附录 向量代数和空间解析几何 494
1.向量及其运算 494
2.空间直角坐标系 500
3.用坐标进行向量运算 502
4.平面方程和直线方程 505
5.空间曲面 510
6.坐标变换 515
7.二次曲面及其标准形式 516
习题 520