第1章 广义函数 1
1.1. 检试函数空间 1
1.1.1. 空间？ 1
1.1.2. 空间？及？ 6
1.1.3. 空间？ 9
1.2. 广义函数空间 15
1.2.1. 广义函数的定义 15
1.2.2. 广义函数的唯一确定 单位分解 17
1.2.3. 正规化问题 22
1.2.4. 代数运算及坐标变换 25
1.3. 广义函数的分析运算 29
1.3.1. 收敛定义及完备性 29
1.3.2. 微分运算 33
1.4. 广义函数的结构 37
1.4.1. 广义函数的局部结构 37
1.4.2. 广义函数的全局结构 39
1.4.3. 紧台广义函数的结构 41
1.4.4. 缓增广义函数的结构 44
1.5. Fourier变换与卷积 46
1.5.1. 广义函数的Fourier变换 46
1.5.2. 卷积 51
1.6. 附录 56
1.6.1 Carleman定理 56
1.6.2 空间Sβα(α，β>0，α+β≥1)的非平凡性 63
第2章 拟微分算子 70
2.1. 振荡积分 70
2.1.1. 定义及正规化 70
2.1.2. 由振荡积分确定的广义函数 74
2.2. Fourier积分算子 76
2.2.1. 位相及振幅 76
2.2.2. 奇台的变化 78
2.2.3. 拟微分算子 81
2.3. 拟微分算子代数 82
2.3.1. 适拟微分算子 82
2.3.2. 适ψDO的符征 85
2.3.3. 符征的渐近展式 86
2.3.4. 振幅与符征 91
2.3.5. 转置与合成 94
2.4. 有界性定理 98
2.4.1. 基本有界性定理 98
2.4.2. 紧性定理 101
2.5. 解析符征情形 103
2.5.1. 基本空间H∞(SA) 104
2.5.2. 广义函数空间H-∞(SA) 108
2.5.3. 解析符征 111
2.6. 波锋集 116
2.6.1. 广义函数的波锋集 116
2.6.2. 奇性的传播 121
第3章 解的存在性问题 128
3.1. 常系数情形 128
3.1.1. 台阶积分法 128
3.1.2. 泛函延拓法 132
3.2. 常系数主型算子 137
3.2.1. 算子的强弱比较 137
3.2.2. 主型算子 142
3.3. 变系数规范主型算子 145
3.3.1. 必要条件 145
3.3.2. 充分条件 157
3.4. 局部可解性问题 163
3.4.1. 空间HS 163
3.4.2. 局部可解性 167
3.4.3. 无穷阶微分方程 172
3.5. 无解方程 174
3.5.1. 局部可解性的必要条件 174
3.5.2. 无解方程 179
3.6. 附录 184
3.6.1. 局部凸空间 184
3.6.2. 对偶空间 187
3.6.3. 双线性映射与核分布 190
第4章 解的光滑性问题 195
4.1. 常系数亚椭圆算子 195
4.1.1. 基本解的性质 195
4.1.2. 亚椭圆性的判定准则 198
4.2. 常系数其它情形 209
4.2.1. 方程组 209
4.2.2. 部分亚椭圆性 212
4.2.3. 条件光滑性 216
4.3. 变系数亚椭圆算子 218
4.3.1. 初步考察 218
4.3.2. 拟微分算子情形 220
4.4. 附录 224
4.4.1. Seidenberg定理的叙述及n=1时的证明 224
4.4.2. n=2的情形 228
4.4.3. 一般情形 234
4.4.4. Puiseux展式 236
第5章 解的结构问题 245
5.1. 有界域情形 245
5.1.1. 预备性讨论 245
5.1.2. 解的结构 247
5.2. 全空间情形 250
5.2.1. ？(Rn)中的解 250
5.2.2. ？F(Rn)中的解 253
5.2.3. ？(Rn)中的解 255
5.3. 解析情形 258
5.3.1. 解析解 258
5.3.2. 一些推论 264
第6章 适定定解问题 268
6.1. 有界域情形 268
6.1.1. 预备性讨论 268
6.1.2. 适定定解问题的存在性 271
6.2. 初值问题 275
6.2.1. 方程组情形 275
6.2.2. 高阶方程情形 282
6.2.3. 无限阶方程情形 286
6.3. 混合问题 294
6.3.1. 基本定理 294
6.3.2. 几个例子 300
6.3.3. 另一处理途径 302
6.4. 边值问题 305
6.4.1. 无限阶算子的某些应用 305
6.4.2. 预备性讨论 308
6.4.3. 基本定理 312