第一章 线性空间与线性变换 1
1.1 线性空间 1
一、集合与映射 1
二、线性空间及其性质 5
三、线性空间的基与坐标 9
四、基变换与坐标变换 11
五、线性子空间 16
六、子空间的交与和 20
习题1.1 25
1.2 线性变换及其矩阵 26
一、线性变换及其运算 27
二、线性变换的矩阵表示 34
三、特征值与特征向量 43
四、对角矩阵 57
五、不变子空间 60
六、Jordan标准形介绍 62
习题1.2 77
一、Euclid空间的定义与性质 80
1.3 两个特殊的线性空间 80
二、正交性 87
三、正交变换与正交矩阵 94
四、对称变换与对称矩阵 97
五、酉空间介绍 99
习题1.3 106
第二章 范数理论及其应用 109
2.1 向量范数及其性质 109
一、向量范数的概念及lp范数 109
二、线性空间Vn上的向量范数的等价性 118
习题2.1 121
2.2 矩阵的范数 122
一、矩阵范数的定义与性质 122
二、几种常用的矩阵范数 127
习题2.2 132
2.3 范数的一些应用 132
一、矩阵的非奇异性条件 132
二、近似逆矩阵的误差--逆矩阵的摄动 134
三、矩阵的谱半径及其性质 135
习题2.3 138
3.1 矩阵序列 139
第三章 矩阵分析及其应用 139
习题3.1 142
3.2 矩阵级数 142
3.3 矩阵函数 149
一、矩阵函数的定义与性质 149
二、矩阵函数值的求法 153
三、矩阵函数的另一定义 160
3.4 矩阵的微分和积分 163
一、矩阵A(t)的导数与积分 163
习题3.3 163
二、其它微分概念 166
习题3.4 170
3.5 矩阵函数的一些应用 171
一、一阶线性常系数齐次微分方程组 171
二、一阶线性常系数非齐次微分方程组 174
习题3.5 177
第四章 矩阵分解 178
4.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解 178
一、Gauss消去法的矩阵形式 178
二、矩阵的三角(LU)分解 182
三、其它三角分解及其算法 189
四、分块矩阵的拟LU分解与拟LDU分解 193
习题4.1 195
4.2 矩阵的QR分解 196
一、Givens变换与Householder变换 196
二、矩阵的QR(正交三角)分解 203
三、矩阵与Hessenberg矩阵的正交相似问题 215
习题4.2 219
4.3 矩阵的满秩分解 220
一、矩阵的正交对角分解 225
4.4 矩阵的奇异值分解 225
习题4.3 225
二、矩阵的奇异值与奇异值分解 226
三、矩阵正交相抵的概念 232
习题4.4 233
第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 234
5.1 特征值的估计 234
一、特征值的界 235
二、特征值的包含区域 244
三、扰动理论中的特征值估计 258
习题5.1 261
5.2 广义特征值问题 262
一、广义特征值问题的等价形式 263
二、特征向量的共轭性 263
习题5.2 264
5.3 对称矩阵特征值的极性 265
一、实对称矩阵的Rayleigh商的极性 265
二、广义特征值的极小极大原理 269
三、矩阵奇异值的极小极大性质 273
习题5.3 275
一、直积的概念 276
5.4 矩阵的直积及其应用 276
二、线性矩阵方程的可解性 282
习题5.4 287
第六章 广义逆矩阵 289
6.1 投影矩阵 289
一、投影算子与投影矩阵 290
二、正交投影算子与正交投影矩阵 293
习题6.1 295
6.2 广义逆矩阵的存在、性质及构造方法 295
一、Penrose的广义逆矩阵定义 295
二、广义逆矩阵的性质及构造方法 297
三、Moore-Penrose逆的等价定义 304
习题6.2 306
6.3 广义逆矩阵的计算方法 307
一、利用Hermite标准形计算矩阵的{1}-逆和{1，2}-逆 307
二、利用满秩分解求广义逆矩阵 309
三、计算A+的Zlobec公式 311
四、Greville方法 314
五、一些特殊分块矩阵的广义逆矩阵 318
六、计算一类实Hessenberg矩阵的广义逆 320
七、计算A+的迭代方法 327
习题6.3 332
6.4 广义逆矩阵与线性方程组的求解 333
一、线性方程组的相容性、通解与广义{1}-逆 334
二、相容线性方程组的极小范数解与广义{1，4}-逆 337
三、矛盾方程组的最小二乘解与广义{1，3}-逆 339
四、矛盾方程组的极小范数最小二乘解与广义逆矩阵A+ 341
五、矩阵方程AXB=D的极小范数最小二乘解 342
习题6.4 343
6.5 约束广义逆和加权广义逆 344
一、约束广义逆 344
二、加权广义逆 347
6.6 Drazin广义逆 350
习题6.5 350
一、方阵的指标 351
二、Drazin逆 353
三、Drazin逆的谱性质 355
四、Drazin逆的计算方法 355
五、Drazin逆的特例--群逆 359
习题6.6 360
第七章 若干特殊矩阵类介绍 361
一、正定矩阵及一些矩阵不等式 363
7.1 正定矩阵与正稳定矩阵 363
二、正稳定矩阵 370
习题7.1 374
7.2 对角占优矩阵 375
一、强对角占优与不可约对角占优矩阵 375
二、具非零元素链对角占优矩阵 378
三、拟对角占优矩阵 379
四、半强对角占优矩阵 380
五、块对角占优矩阵 383
习题7.2 384
7.3 非负矩阵 385
一、非负矩阵 385
二、单调矩阵 386
三、矩阵的正则分裂及弱正则分裂 389
习题7.3 391
7.4 M矩阵与广义M矩阵 391
一、40个充要条件介绍 392
二、M矩阵 396
三、广义M矩阵 402
习题7.4 403
7.5 Toeplitz矩阵及其有关矩阵 404
一、Toeplitz矩阵与Hankel矩阵等 405
二、循环矩阵 409
三、其它特殊的T矩阵 413
7.6 其它特殊矩阵 414
一、Vandermonde矩阵 414
二、Hilbert矩阵 420
三、Hadamard矩阵 422
习题答案或提示 425
参考文献 445