第一部分 开始语 1
1.关于数学 3
1.1 数学与思维有不解之缘 3
1.2 历史是最好的启发式 4
1.3 数学是怎样生成和发展的 5
1.4 数学的趣味性 6
1.5 数学是研究模式的学问 7
第二部分 数学，作为锻炼思维的手段 9
2.数学与思维 11
2.1 逻辑思维 11
2.2 形象思维 17
2.3 直觉思维 20
2.4 小结 22
3.像数学家那样思维 24
3.1 像数学家那样学习和思维 24
3.2 思维方式和思维方法 25
3.3 毕达哥拉斯的数学思想 26
3.4 莱布尼茨的数学思想 29
3.5 克莱因的数学思想 32
3.6 数学家们的思路 36
4.解题思路 40
4.1 引言 40
4.2 双轨迹模式 41
4.3 笛卡儿法则 44
4.4 笛卡儿模式 47
4.5 教学与学习 49
第三部分 历史是最好的启发式 51
5.数学思想史 53
5.1 数学与经验 53
5.2 到数学史中去探寻 57
5.3 数学思想史 58
5.4 数学思想史的分期 59
5.5 数学史给我们的启示 60
6.几何学发展的三阶段 61
6.1 第一阶段：无意识的几何学 61
6.2 第二阶段：科学的(或者实验的、经验的、归纳的)几何学 62
6.3 第三阶段：论证的(或者实际的、有系统的)几何学 65
6.4 希腊的奥秘 69
6.5 “个体发育再现系统发育”法则 71
7.三角学 73
7.1 历史概述 73
7.2 希帕克的天文学 74
7.3 梅内劳斯的球面三角学 75
7.4 托勒密的弦表 79
7.5 托勒密之后的发展 81
8.对数 85
8.1 耐普尔对数 85
8.2 一段趣事 87
8.3 对数发明的思路 88
8.4 造对数表的方法 92
9.解析几何 94
9.1 追本溯源 94
9.2 笛卡儿 95
9.3 费尔马 100
9.4 简短评述 102
10.微积分学 104
10.1 思路和渊源 104
10.2 积分概念的三个支柱 105
10.3 问题引路 108
10.4 近在咫尺 111
10.5 牛顿和莱布尼茨的工作 112
10.6 质疑 120
10.7 严谨化 121
11.1 渊源与序幕 124
11.几何学的解放 124
11.2 罗巴切夫斯基几何 127
11.3 黎曼几何 131
11.4 物理学与几何学 132
12.代数学的解放 133
12.1 四元数、向量、矩阵 133
12.2 群论 139
12.2 开闸之后 152
第四部分 数学，多么有趣 153
13.数学与猜想 155
13.1 猜想的重要性 155
13.2 猜想的慢镜头 158
13.3 哥德巴赫猜想 163
13.4 四色猜想 165
13.5 数学猜想是怎样发现的 167
14.1 从直观证明到逻辑证明 169
14.数学证明 169
14.2 亚里士多德和墨子 171
14.3 公理学和证明论 173
14.4 提高证明能力的有效途径 175
14.5 证明的功用 176
14.6 反证法 181
14.7 存在性证明 183
14.8 不可能性证明 185
15.数学游戏 187
15.1 从游戏到数学游戏 187
15.2 麦比乌斯带 188
15.3 从142857谈起 192
15.4 博弈论 194
15.5 一段轶事 197
16.数学问题 199
16.1 科学来源于问题 199
16.2 历史上的著名问题 200
16.3 论数学问题 203
17.数学方法 207
17.1 作为方法的科学和研究科学的方法 207
17.2 庖丁解牛新解 208
17.3 从问题到方法 209
17.4 研究数学的方法 210
17.5 数学方法的本质 213
17.6 探寻数学方法的方法 215
18.数学怎样成为可应用的 217
18.1 “渗透”与“被渗透” 217
18.2 测量地球的大小 219
18.3 在物理学中的应用 220
18.4 在化学中的应用 221
18.5 在生物学中的应用 223
19.数学模型 226
19.1 从模式谈起 226
19.2 数学模型 227
19.3 斐波纳契序列 229
19.4 由运输问题引出的数学模式 239
19.5 光合作用的数学模型 241
第五部分 结束语 245
20.数学究竟是什么 247
20.1 语言、思维、逻辑 247
20.2 猜想与证明 248
20.3 历史是最好的启发式 249
20.4 数学与艺术 249
20.5 数学的趣味性 249
20.6 数学是研究模式的学问 250
20.7 一种文化体系 251
20.8 数学之树 252
20.9 数学与文明 252
参考书目 254
后记 256