第一章 多元函数及其导数 1
1.1 平面和空间的点和点集 1
a.点的序列：收敛性 1
b.平面上的点集 3
c.集合的边界.闭集与开集 6
d.闭包作为极限点的集合 8
e.空间的点与点集 9
练习1.1 10
a.函数及其定义域 11
1.2 几个自变量的函数 11
问题1.1 11
b.最简单的函数 12
c.函数的几何表示法 13
练习1.5 a 13
练习1.2 15
1.3 连续性 17
a.定义 17
b.多元函数的极限概念 19
c.无穷小函数的阶 22
练习1.3 24
a.定义.几何表示 27
1.4 函数的偏导数 27
问题1.3 27
练习1.4 a 31
问题1.4 a 33
b.例 33
c.偏导数的连续性与存在性 35
练习1.4 c 36
d.微分次序的改变 37
练习1.4 d 40
问题1.4 d 40
a.可微性的概念 41
1.5 函数的全微分及其几何意义 41
问题1.5 a 44
b.方向导数 44
练习1.5 b 46
c.可微性的几何解释.切平面 47
练习1.5 c 49
d.函数的微分 50
练习1.5 d 53
e.在误差计算方面的应用 53
练习1.5 e 54
a.复合函数.链式法则 55
1.6 函数的函数(复合函数)与新自变量的引入 55
练习1.6 a 59
问题1.6 a 60
b.例 61
c.自变量的替换 62
练习1.6 c 65
问题1.6 c 66
1.7 多元函数的中值定理与泰勒定理 66
a.关于用多项式作近似的预备知识 66
练习1.7 a 67
b.中值定理 68
练习1.7 b 69
问题1.7 b 70
c.多个自变量的泰勒定理 70
练习1.7 c 72
问题1.7 c 73
1.8 依赖于参量的函数的积分 74
a.例和定义 74
b.积分关于参量的连续性和可微性 76
练习1.8 b 81
c.积分(次序)的互换.函数的光滑化 82
a.线性微分型 84
1.9 微分与线积分 84
b.线性微分型的线积分 87
练习1.9 b 93
c.线积分对端点的相关性 93
1.10 线性微分型的可积性的基本定理 96
a.全微分的积分 96
b.线积分只依赖于端点的必要条件 97
c.可积条件的不足 99
d.单连通集 102
e.基本定理 105
a.聚点原理 107
附录 107
A.1 多维空间的聚点原理及其应用 107
b.柯西收敛准则.紧性 109
c.海涅-波瑞耳覆盖定理 110
d.海涅-波瑞耳定理在开集所包含的闭集上的应用 111
A.2 连续函数的基本性质 113
A.3 点集论的基本概念 114
a.集合与子集合 114
b.集合的并与交 116
c.应用于平面上的点集 119
A.4 齐次函数 120
第二章 向量、矩阵与线性变换 123
2.1 向量的运算 123
a.向量的定义 123
b.向量的几何表示 125
c.向量的长度，方向夹角 127
d.向量的数量积 131
e.超平面方程的向量形式 133
f.向量的线性相关与线性方程组 136
练习2.1 141
a.基的变换，线性空间 143
2.2 矩阵与线性变换 143
b.矩阵 146
c.矩阵的运算 150
d.方阵.逆阵.正交阵 152
练习2.2 157
2.3 行列式 159
a.二阶与三阶行列式 159
b.向量的线性型与多线性型 162
c.多线性交替型，行列式的定义 166
d.行列式的主要性质 169
e.行列式对线性方程组的应用 173
练习2.3 175
2.4 行列式的几何解释 178
a.向量积与三维空间中平行六面体的体积 178
b.行列式关于一列的展开式.高维向量积 186
c.高维空间中的平行四边形的面积与平行多面体的体积 188
d.n 维空间中平行多面体的定向 193
e.平面与超平面的定向 197
f.线性变换下平行多面体体积的改变 199
练习2.4 200
a.向量场 202
2.5 分析中的向量概念 202
b.数量场的梯度 203
c.向量场的散度和旋度 206
d.向量族.在空间曲线论和质点运动中的应用 209
练习2.5 212
第三章 微分学的发展和应用 217
3.1 隐函数 217
a.一般说明 217
练习3.1 a 218
b.几何解释 218
c.巴隐函数定理 220
练习3.1 b 220
练习3.1 c 224
d.隐函数定理的证明 224
练习3.1 d 227
e.多于两个自变量的隐函数定理 228
练习3.1 e 229
3.2 用隐函数形式表出的曲线与曲面 230
a.用隐函数形式表出的平面曲线 230
练习3.2 a 234
b.曲线的奇点 235
练习3.2 b 237
c.曲面的隐函数表示法 238
练习3.2 c 240
3.3 函数组、变换与映射 241
a.一般说明 241
练习3.3 a 246
b.曲线坐标 246
练习3.3 b 249
c.推广到多于两个变量的情形 249
练习3.3 c 252
d.反函数的微商公式 252
练习3.3 d 255
e.映射的符号乘积 258
练习3.3 e 261
f.关于变换及隐函数组的逆的一般定理.分解成素映射 262
练习3.3 f 267
e.用逐次逼近法迭代构造逆映射 267
练习3.3 g 273
h.函数的相依性 273
练习3.3 h 275
i.结束语 275
练习3.3 i 277
3.4 应用 278
a.曲面理论的要素 278
练习3.4 a 287
b.一般保角变换 288
练习3.4 b 290
3.5 曲线族，曲面族，以及它们的包络 291
a.一般说明 291
练习3.5 a 292
b.单参量曲线的包络 293
c.例 296
练习3.5 b 296
练习3.5 c 302
d.曲面族的包络 304
练习3.5 d 306
3.6 交错微分型 308
a.交错微分型的定义 308
练习3.6 a 310
b.微分型的和与积 311
练习3.6 b 312
c.微分型的外微商 313
练习3.6 c 316
d.任意坐标系中的外微分型 317
练习3.6 d 326
3.7 最大与最小 326
a.必要条件 326
b.例 329
练习3.7 b 331
c.带有附加条件的最大与最小 332
练习3.7 c 336
d.最简单情形下不定乘数法的证明 336
练习3.7 d 338
e.不定乘数法的推广 339
练习3.7 e 342
f.例 343
练习3.7 f 346
附录 348
A.1 极值的充分条件 348
练习A.1 353
A.2 临界点的个数与向量场的指数 355
练习A.2 362
A.3 平面曲线的奇点 362
练习A.4 365
练习A.3 365
A.4 曲面的奇点 365
A.5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系 366
练习A.5 367
A.6 闭曲线的切线表示法与周长不等式 367
练习A.6 369
解答 370
第四章 多重积分 453
4.1 平面上的面积 453
a.面积的若当测度的定义 453
b.一个没有面积的集合 456
c.面积的运算法则 458
练习4.1 460
4.2 二重积分 460
a.作为体积的二重积分 460
b.积分的一般分析概念 462
c.例 466
d.记号、推广、基本法则 468
e.积分估计与中值定理 469
4.3 三维及高维区域上的积分 472
4.4 空间微分、质量与密度 473
4.5 化重积分为累次单积分 474
a.在矩形上的积分 474
b.积分交换次序.积分号下求微分 477
c.在更一般的区域上化二重积分为单重积分 478
d.在多维区域中的推广 482
4.6 重积分的变换 484
a.平面上的积分的变换 484
b.高于二维的区域 489
练习4.6 490
4.7 广义多重积分 492
a.有界集上函数的广义积分 493
b.广义积分一般收敛定理的证明 497
c.无界区域上的积分 499
练习4.7 502
4.8 在几何中的应用 503
a.体积的初等计算 503
b.体积计算的一般性附注.旋转体在球坐标系中的体积 505
c.曲面的面积 509
练习4.8 515
4.9 在物理中的应用 516
a.矩和质心 516
b.惯性矩 518
c.复合摆 520
d.吸引质量的势 523
练习4.9 526
4.10 在曲线坐标中的重积分 529
a.重积分的分解 529
b.应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积.古鲁金公式.配极求积仪 532
4.11 任意维数的体积和曲面面积 537
a.高于三维的曲面面积和曲面积分 537
b.n 维空间中的球体面积和体积 538
c.推广.参数表示 542
练习4.11 545
4.12 作为参数的函数的广义单积分 546
a.一致收敛性.对参数的连续依赖性 546
b.广义积分对参数的微分法和积分法 549
c.例 551
d.菲涅尔积分值的计算 556
练习4.12 557
4.13 傅立叶积分 559
a.引言 559
b.例 562
c.傅立叶积分定理的证明 564
d.傅立叶积分定理的收敛速度 567
e.傅立叶变换的巴色瓦等式 570
f.多元函数的傅立叶变换 572
练习4.13 579
4.14 欧拉积分(伽玛函数) 579
a.定义和函数方程 579
b.凸函数.波尔-摩尔路波定理的证明 581
c.伽玛函数的无穷乘积 585
d.延拓定理 589
e.贝塔函数 591
f.分数次微商和积分、阿贝尔积分方程 594
练习4.14 595
附录：积分过程的详细分析 598
A.1 面积 598
a.平面的分划和相应的内、外面积 598
b.若当可测集及其面积 600
c.面积的基本性质 602
A.2 多元函数的积分 607
a.函数 f(x，y)的积分的定义 607
b.连续函数的可积性与在集合上的积分 609
c.重积分的基本法则 611
d.化重积分为累次单积分 614
A.3 面积与积分的变换 617
a.集合的映射 617
b.重积分的变换 622
A.4 关于曲面面积定义的附注 623
第五章 曲面积分和体积分之间的关系 626
5.1 线积分和平面上的重积分之间的联系(高斯，斯托克斯和格林的积分定理) 626
5.2 散度定理的向量形式.斯托克斯定理 633
练习5.2 637
5.3 二维分部积分公式.格林定理.散度定理 637
a.1-1映射的情形 639
5.4 散度定理应用于重积分的变量替换 639
b.积分的变量替换和映射度 642
5.5 面积微商，将△u 变到极坐标的变换 646
5.6 用二维流动解释格林和斯托克斯公式 650
5.7 曲面的定向 655
a.三维空间中二维曲面的定向 656
b.在定向曲面上曲线的定向 666
5.8 曲面上微分形式和数量函数的积分 668
a.定向平面区域上的重积分 668
练习5.7 668
b.二阶微分形式的曲面积分 671
c.定向曲面上微分形式的积分和非定向曲面上数量函数的积分之间的关系 673
5.9 空间情形的高斯定理和格林定理 676
a.高斯定理 676
练习5.9 a 680
b.高斯定理在流体流动中的应用 681
c.高斯定理在空间力和曲面力上的应用 683
d.分部积分和三维空间中的格林定理 686
e.应用格林定理把△U 变换成球坐标的形式 687
练习5.9 e 689
a.定理的叙述和证明 690
5.10 空间斯托克斯定理 690
练习5.10 a 693
b.斯托克斯定理的物理解释 694
练习5.10 b 696
5.11 高维积分恒等式 702
附录：曲面和曲面积分的一般理论 704
A.1 三维空间中的曲面和曲面积分 704
a.基本曲面 704
b.函数在基本曲面上的积分 707
c.定向基本曲面 709
d.简单曲面 711
e.单位分解以及在简单曲面上的积分 714
A.2 散度定理 717
a.定理的叙述及其不变性 717
b.定理的证明 719
A.3 斯托克斯定理 722
A.4 在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分 725
a.基本曲面 725
b.微分形式在定向基本曲面上的积分 727
e.简单 m 维曲面 727
A.5 高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式 730
解答 733