前言 1
第一章 集合论 1
引言 1
1—1 集合的概念 1
一 集合的概念 1
二 集合的表示法 3
三 集合的基数与分类 4
四 集合的图解 5
五 集合的相等与包含关系 5
六 全集 9
习题 1—1 10
1—2 集合的运算 12
一 集合的运算 12
二 集合的运算律 15
习题 1—2 19
1—3 集合成员表 20
一 集合成员表的构造 21
二 集合成员表的应用 23
习题 1—3 25
1—4 幂集与划分 25
一 幂集 26
二 集合的划分 29
习题 1—4 32
集合论知识结构表 35
引言 36
第二章 关系 36
2—1 关系的基本概念 37
一 二元关系 37
二 二元关系的几何意义 38
三 几个特殊的二元关系 40
四 n 元关系 41
习题 2—1 43
2—2 关系的基本性质、关系图和关系矩阵 45
一 关系的基本性质 45
二 关系图 49
三 关系矩阵 52
习题 2—2 54
2—3 关系的运算 57
一 关系的交、并、差、补运算 57
二 逆关系 58
三 复合关系与关系的复合运算 60
四 复合关系的矩阵 64
五 复合关系的逆运算 66
习题 2—3 68
2—4 关系的闭包运算 71
一 关系的闭包概念 71
二 求闭包的方法 72
习题 2—4 77
2—5 等价关系 79
一 等价关系的概念 79
二 等价类 83
习题 2—5 86
一 相容关系的概念 87
2—6 相容关系 87
二 最大相容类 90
三 相容关系与覆盖的联系 92
习题 2—6 94
2—7 序关系 95
一 偏序的概念 96
二 偏序的哈斯图 97
三 偏序集中具有特殊位置的元素 101
四 全序 104
五 几个特殊的偏序 105
习题 2—7 106
关系的知识结构表 109
第三章 函数 110
引言 110
3—1 函数的基本概念 110
一 函数的概念 111
二 在笛卡尔积 A×B 的子集中有多少个不同的函数? 113
三 函数的相等与缩小 114
四 几种常见的特殊函数 115
习题3—1 119
3—2 复合函数 121
一 复合函数的概念 121
二 函数的复合运算律 124
三 几个复合函数的特性 125
习题3—2 127
一 逆函数的概念 128
3—3 逆函数 128
二 逆函数的性质 131
习题3—3 134
3—4 无限集的基数 136
一 “一一对应关系”是求集合基数的理论基础 136
二 可数集及其性质 138
三 不可数集及集合基数的比较 144
习题3—4 147
函数知识结构表 149
引言 150
第四章 代数系统 150
4—1 集合中的代数运算 152
一 代数运算的概念 152
二 二元代数运算 154
三 与集合 A 的二元代数运算有关的 A 的特异元素 155
习题4—1 158
4—2 代数系统的基本概念和性质 164
一 代数系统的概念 164
二 代数运算的性质 165
三 利用运算表判断代数运算的性质 169
习题4—2 170
4—3 同构与同态 174
一 同构的概念和性质 174
二 同态的概念和性质 179
习题4—3 181
4—4 群 183
一 群的基本概念 184
二 群的基本性质 190
三 子群 192
四 几种典型的群 194
习题4—4 198
4—5 环和域 202
一 环的概念 202
二 环的性质 205
三 子环 206
四 几种重要的环 207
五 域 208
习题4—5 210
4—6 格 213
一 格的概念 213
二 格的性质 216
三 格——代数系统 221
四 子格 223
五 格的积代数、同态和同构 224
六 几种特殊格 227
习题4—6 230
代数系统知识结构表 234
第五章 图论 235
引言 235
5—1 图的基本概念 236
一 图论的起源 236
二 图的概念 237
三 图 G 的结点与边之间的关系的概念 240
四 图 G 的分类 241
习题5—1 243
5—2 图的运算和结点的次数 245
一 图的运算 245
二 结点次数及其计算 248
三 子图和同构图 250
习题5—2 253
5—3 路径、回路和连通性 256
一 路径和回路的概念 257
三 结点间的可达性和距离 259
二 路径的长度 259
四 简单有向图的连通性 261
五 无向图中的路径、回路和连通性 263
习题5—3 264
5—4 图的矩阵表示 267
一 邻接矩阵 268
二 可达性矩阵 273
习题5—4 277
一 最优路径的概念 280
5—5 最优路径和关键路径 280
二 怎样找到从初始结点到终端结点的最优路径? 282
三 最优路径在工程技术中的应用 284
习题5—5 288
5—6 欧拉图与哈密尔顿图 292
一 欧拉图 292
二 哈密尔顿图 299
习题5—6 309
5—7 树 312
一 无向树 313
二 无向图的生成树和最小树 314
三 有向树 318
四 二元树 320
五 最优树 323
习题5—7 325
5—8 平面图 328
一 平面图的概念 329
二 平面图的面 330
三 平面图的判定 332
四 平面图的应用 336
习题5—8 340
图论知识结构表 345
第六章 命题逻辑 346
引言 346
6—1 命题与命题联结词 347
一 命题的概念 347
三 命题的分类 349
二 命题的标识符 349
四 命题联结词 351
习题6—1 356
6—2 命题公式、真值表和翻译 358
一 命题公式 358
二 真值表 360
三 命题的翻译 363
习题6—2 365
6—3 永真式、永假式和互为等价的公式 367
一 永真式和永假式 367
二 命题公式间的等价关系及其性质 369
三 基本等价公式——命题定律 371
四 代入规则和置换规则 373
五 求证两个公式等价的方法 375
习题6—3 376
6—4 公式的对偶式和公式间的蕴涵关系 378
一 公式的对偶式 378
二 命题公式间的蕴涵关系及其性质 381
三 怎样判断两个命题公式间是否存在永真蕴涵关系? 382
四 基本永真蕴涵式 383
五 蕴涵式、等价式和永真式有关的相互关系 384
习题6—4 386
6—5 命题联结词的扩充与最小联结词组 388
一 命题联结词的扩充 388
二 联结词“与非”和“或非”的性质 389
三 联结词“异或”的性质 391
四 最小联结词组 393
习题6—5 394
6—6 公式的范式 396
一 基本积与基本和 396
二 合取范式与析取范式 397
三 利用析取范式与合取范式进行公式的判定 398
四 公式的析取范式与合取范式的不唯一性 400
习题6—6 401
一 主析取范式 402
6—7 公式的主范式 402
二 主合取范式 406
三 主范式的应用 409
习题6—7 411
6—8 命题演算的推理理论 412
一 推理的基本概念和规则 412
二 判断有效结论的方法 414
习题6—8 420
命题逻辑知识结构表 423
引言 424
第七章 谓词逻辑 424
7—1 谓词逻辑的基本概念 425
一 客体、谓词和命题的谓词表达式 425
二 命题函数 427
三 量词 429
四 自然语言中，哪些词是客体?谓词?量词? 432
习题7—1 433
一 谓词公式 434
7—2 谓词公式与翻译 434
二 约束变元和自由变元 436
三 谓词逻辑的翻译 440
习题7—2 443
7—3 谓词公式的永真式、永假式和蕴涵式 445
一 谓词公式的永真式、永假式和蕴涵式的概念 445
二 判定方法和基本公式 446
习题7—3 451
7—4 谓词公式的范式 452
一 谓词公式的多重量化 452
二 前束范式 454
三 斯柯林范式 456
习题7—4 457
7—5 谓词逻辑的推理理论 458
一 四个与量词有关的推理规则 459
二 谓词逻辑中推理的论证 460
三 谓词逻辑演算中常见的错误 465
习题7—5 468
谓词逻辑知识结构表 470
第八章 组合数学初步 471
引言 471
8—1 两个基本原理 472
一 加法原理及其特性 472
二 乘法原理及其特性 473
习题8—1 474
8—2 排列 475
一 排列 476
二 比较复杂的排列应用题常用基本解法 477
三 受限排列问题的解法 480
习题8—2 481
8—3 圆排列和重复排列 483
一 圆排列 483
二 重复排列 485
三 对按属性分组的 n 个事物的排列数的计算 486
习题8—3 488
8—4 组合 490
一 组合 490
二 组合的性质 492
三 比较复杂的组合问题常用基本解法 494
习题8—4 495
8—5 解排列组合问题的基本思路 498
一 排列组合混合问题的求解 498
二 解排列组合问题的基本思路 499
习题8—5 502
8—6 鸽巢原理 505
一 鸽巢原理 505
二 应用鸽巢原理解题举例 506
三 鸽巢原理的一般形式 509
习题8—6 510
组合数学知识结构表 512
符号表 513
习题解答与提示 518