第一章 集合论基础 1
1 集合及集合的运算 1
1.1. 集合与子集合 1
前言页 1
1.2 集合的运算 2
2 集合之间的对应与集合的映射 5
2.1 对应与映射 5
2.2 一一映射 6
2.3 集合的等价性 7
2.4 集合的分类 7
3.1 有序集合的概念 12
3 有序集合 12
3.2 全排列 13
3.3 置换 16
3.4 排列 19
3.5 组合 20
3.6 牛顿二项式 22
4 数学归纳法 23
5 二元运算的集合 26
5.1 集合的二元运算 26
5.2 集合的同构 27
5.3 群 28
5.4 环 30
5.5 域 31
6 矩阵和行列式 32
第二章 实数 37
1 自然数 38
1.1 自然数集合 38
1.2 自然数集合的公理结构 41
1.3 质数 算术基本定理 43
1.4 自然数整除性的某些准则 45
1.5 最小公倍数、最大公因数△欧几里得算法 45
2.1 整数集合 50
2 整数 50
2.2 整数的算术运算 52
3 有理数 55
3.1 有理分数 55
3.2 有理数 60
3.3 整数和有理数 62
3.4 有理数集合是整数集合的扩大 63
4 实数 64
4.1 实数集合是有理数集合的扩大 64
4.2 实数集合的公理结构 65
4.3 实数集合的十进小数表示 69
4.4 实数集的几何表示 72
4.5 有理数与无理数的小数表示 73
4.6 证明无理数的几个方法 76
4.7 代数数与超越数 80
4.8 幂与根 82
4.9 对数 84
5 小数 85
5.1 十进位计数制 85
5.2 小数的概念 87
5.3 有限小数的算术运算 90
5.4 化有限小数为有理分数 93
5.5 化无限循环小数为有理分数 93
6 连分数 96
7 计算方法 101
7.1 数的近似值和误差 101
7.2 近似值的小数写法 103
7.3 数的舍入 105
7.4 切线法 106
7.5 自然数平方根的求法 108
第三章 复数 110
1 复数集合 112
1.1 复数集合的公理结构 112
1.2 有序的实数对集合与复数集合 115
2.2 复数的和与差的几何表示 118
2.1 复数的几何表示 118
2 复数的几何表示及三角形式写法 118
2.3 复数的三角形式 119
3 复数的幂 121
3.1 复数和乘方 121
3.2 复数的开方 122
第四章 代数 124
1 一元多项式 125
1.1 多项式的概念和多项式的算术运算 125
1.2 多项式的因式 127
1.3 多项式除法 129
1.4 求两个多项式的最大公因式的欧几里得算法 132
1.5 多项式的根 134
1.6 乘法公式 135
1.7 韦达定理 136
1.8 代数基本定理 137
1.9 多项式的因式分解 137
1.10 代数基本定理在实系数多项式的情况下的某些推论 138
2 多元多项式 139
2.1 多元单项式和多项武 139
2.2 多项式项的字汇排法 140
3 有理代数分式 141
3.1 代数分式的算术运算 141
3.2 代数真分式 144
3.3 最简分式 145
3.4 比例 146
4 无理代数式 147
5 方程和代数方程 150
5.1 基本定义 150
5.2 线性方程 153
5.3 二次方程 153
5.4 二项式方程 156
5.5 双二次方程 158
5.6 可化为二次方程的某些四次方程 160
5.7 整系数代数方程的解法 162
5.8 有理代数方程 164
5.9 无理方程 165
5.10 绝对值方程 169
5.11 在复数集里解方程 171
5.12 焦范托夫方程 175
6 超越方程 175
6.1 指数方程 177
6.2 对数方程 177
7 方程组和线性方程组 179
7.1 基本定义 179
7.2 线性方程组 180
7.3 消元法 181
7.4 二元一次方程组 188
7.5 线性方程组解的几何解释 189
8 非线性代数方程组 193
9 不等式 198
9.1 不等式的定义及其基本性质 198
9.2 几个重要不等式 200
10 不等式和不等式组的解法 202
10.1 基本定义 202
10.2 线性不等式与线性不等式组 203
10.3 二次不等式 204
10.4 区间法 206
10.5 无理不等式的解法 208
10.6 指数不等式 209
10.7 对数不等式 210
10.8 二元不等式解集合的几何意义 212
11 证明不等式的方法 219
11.1 利用等价不等式链证明不等式 219
11.2 利用不等式里的函数性质证明不等式 221
11.3 证明不等式的几种特殊方法 223
11.4 数值不等式的几种检验方法 224
1 坐标系 228
1.1 坐标轴 228
第五章 坐标法 228
1.2 平面笛卡尔直角坐标系 230
1.3 极坐标系、极坐标与直角坐标的关系 235
1.4 空间笛卡尔直角坐标系 236
1.5 平面方程 237
2 矢量 238
2.1 矢量、基本概念 238
2.2 角的度量制 239
2.2 矢量间的夹角、矢量的数量积 245
2.3 平面矢量的坐标 246
2.4 空间矢量的坐标 248
2.5 矢量积 250
2.6 矢量的混合积 251
3 解析几何初步 252
3.1 直线 252
3.2 圆 255
3.3 椭圆 256
3.4 双曲线 258
3.5 抛物线 261
第六章 几何 264
1 射线、线段 265
1.1 射线 265
2.1 角的概念 267
1.2 线段 267
2 平面上的角 267
2.3 角的弧度制 270
2.4 角的分类 270
2.5 方向间的角 270
3 平面上的平行和垂直 271
3.1 平面上的平行线 271
3.2 平面上的垂直 273
3.3 点到直线的距离 273
4 空间里的平行和垂直 274
4.1 直线与平面的平行 274
4.3 直线与平面的垂直 275
4.2 平行平面 275
4.4 点到平面的距离 276
4.5 平面的垂直 276
4.6 斜线 277
4.7 交错直线 277
5 在平面上的投影 277
5.1 平行投影 277
5.2 垂直投影 278
6 空间里的角 279
6.1 斜线与平面间的夹角 279
6.2 二面角 279
7 折线和多边形 280
6.3 二平面间的夹角 280
8 三角形 283
8.1 基本性质 283
8.2 三角形的中线 285
8.3 三角形的高 286
8.4 三角形的角平分线 287
8.5 三角形的中位线 287
8.6 等腰三角形 288
8.7 等边三角形 288
8.8 直角三角形 288
9.1 平行四边形 290
9 四边形 290
9.2 菱形 291
9.3 矩形 292
9.4 正方形 292
9.5 梯形 293
10 相似多边形 294
10.1 多边形相似的判定定理 294
10.2 三角形相似的判定定理 295
11 圆周和圆 296
11.1 圆周和圆 296
11.2 切线与割线 297
11.3 两圆的位置关系 298
11.4 圆心角和圆弧 300
11.5 圆弧和弦 301
11.6 圆周角 301
11.7 圆周长和圆面积 302
12 多边形和圆 303
12.1 内接多边形和外切多边形 303
12.2 内接三角形 304
12.3 外切三角形 305
12.4 旁切圆 305
12.6 内接四边形 306
12.5 正三角形和直角三角形的边与内切圆和外接圆的半径间的关系 306
12.7 外切四边形 307
13 几何作图 307
13.1 已知直线的平行线和垂线的作法 308
13.2 角的作法 309
13.3 线段的作法 311
13.4 圆周和圆弧的作法 315
13.5 圆周的切线的作法 318
13.6 多边形的外接圆和圆的内接多边形的作法 320
13.7 多边形的内切圆和圆的外切多边形的作法 322
13.8 三角形的作法 323
14 多面角 327
15 多面面和多面体 329
16 棱柱 330
17 平行六面体和立方体 332
18 棱锥和棱台 333
19 正多面体 336
20 旋转图形 339
21 圆柱 340
22 圆锥和圆台 343
23 球面和球 346
24 球缺 348
24.1 球缺 348
24.2 球扇形 349
24.3 球层 350
24.4 球带 350
25 平面和空间的变换 351
25.1 图形到图形内的映射和图形到图形上的映射 351
25.2 平面和空间的变换 351
25.3 空间和平面的等距变换及图形的相等 353
25.4 平面的绕点旋转变换 353
25.5 中心对称和中心对称图形 354
25.6 平面的轴对称变换 355
25.7 空间的轴对称 356
25.9 平面的位似变换 357
25.8 关于平面对称 357
25.10 空间的位似变换 359
25.11 平面的相似变换 360
25.12 相似形 361
26 公理体系及没有定义的几何概念(希尔伯特公理体系) 361
第七章 三角 368
1 三角函数 368
1.1 角的概念推广 368
1.2 三角函数 370
1.3 单位圆的象限 373
1.4 数值变量的三角函数 374
1.5 反三角函数 381
1.6 某些角的三角函数值 385
2 三角公式 389
2.1 简化公式 389
2.2 同角三角函数问关系 391
2.3 和角与差角的三角函数 391
2.4 二倍角、三倍角和半角的三角函数 391
2.5 三角函数的和(差)变积 392
2.6 三角函数的积变和(差) 394
2.7 反三角函数间的简单关系 395
3 三角方程和三角不等式的解法 397
3.1 最简三角方程 397
3.2 较复杂的三角方程的例题 400
3.3 最简三角不等式的解法 405
3.4 反三角函数方程和反三角函数不等式的解法举例 405
4 三角形中各元素间的关系 408
4.1 基本公式 408
4.2 三角形元素的计算 409
第八章 极限论 414
1 数列 414
1.1 数列的概念 414
1.2 给定数列的一些方法 416
1.3 数列的几何表示 417
1.4 有界数列 417
1.5 单调数列 418
2 数列的极限 420
2.1 数列极限的概念 420
2.2 数列收敛的必要条件 424
2.3 关于数列极限的定理 425
2.4 数列收敛的充分条件 428
2.5 无穷数列收敛的充分必要条件 435
3 数值级数 437
3.1 数值级数的概念 437
3.2 正项数值级数 440
3.3 调和级数 441
4.1 无穷乘积的概念 442
4 无穷乘积 442
4.2 无穷乘积与级数的关系 443
5 级数 443
5.1 算术级数 443
5.2 几何级数 444
6 数值函数 445
6.1 数值函数的概念 445
6.2 给定函数的方法 446
6.3 两个函数的和、差、积与商 448
6.4 复合函数 449
6.5 偶函数和奇函数 449
6.6 周期函数 451
6.7 有界函数 453
6.8 单调函数 453
6.9 反函数 455
7 函数的极限 457
7.1 函数极限的概念 457
7.2 关于函数极限的定理 461
7.3 函数极限存在的充分必要条件 463
7.4 几个重要极限 463
8 无穷小量 464
8.1 无穷小量的概念 464
8.2 无穷小量的比较 465
9 函数的连续性 466
9.1 函数连续性的概念 466
9.2 关于连续函数的基本定理 467
9.3 初等函数的连续性 468
第九章 微积分初步 470
1 导数 470
1.1 导数的概念 470
1.2 函数图象上的切线方程 471
1.3 导数的物理意义 471
1.4 关于导数的定理 472
1.5 初等函数导数的计算 473
1.6 高阶导数 477
2 原函数和不定积分 478
2.1 原函数和不定积分的概念 478
2.2 不定积分的简单性质和积分法 480
3 定积分 485
3.1 平面图形的面积计算问题 485
3.2 定积分 487
3.3 定积分的性质 488
3.4 作为上限的函数的定积分 489
3.5 积分运算的基本公式 490
4.1 多元函数的概念 491
4 微分方程 491
4.2 常微分方程的概念 492
4.3 一阶微分方程 494
4.4 二阶微分方程 497
第十章 初等函数 501
1 函数的研究 501
1.1 常量函数 501
1.2 函数单调性条件 501
1.3 函数的极大值和极小值 502
1.4 函数的最大值和最小值 505
1.5 曲线的凹向 507
2 函数图象的作法 509
3 函数图象的简单变换 511
4 线性函数 515
5 反比例 517
6 分式线性函数 518
7 二次函数 520
8 幂函数 523
9 指数函数 524
10 对数函数 525
常用公式表 528
计数制 538
基本符号表 544