第一部分 复变函数论及其应用 1
第一章 复数的基本概念 1
1.1 复数及其运算规则 1
1.2 复数的几何表示 2
1.3 复数序列·极限的概念 5
1.4 无穷远点 7
第二章 解析函数 9
2.1 复变函数·区域的概念·连续和一致连续 9
2.2 导数 11
2.3 解析函数·科希-里曼(Oauchy-Riemann)条件 12
2.4 解析函数与调和函数的关系 15
第三章 初等函数 17
3.1 幂函数 17
3.2 指数函数 17
3.3 三角函数和双曲线函数 18
3.4 多值函数·根式？ 19
3.5 对数函数 26
3.6 多值函数w=arc sinz 28
3.7 函数z?(?为任意复数) 30
第四章 复数积分·科希定理和科希积分公式 32
4.1 复数积分 32
4.2 复数积分的几个重要性质 33
4.3 科希(Oauchy)定理 34
4.4 不定积分·原函数 38
4.5 科希积分公式 41
4.6 科希积分公式的几个重要推论 45
4.7 解析函数的实部和虚部的关系 47
4.8 科希型积分 50
第五章 无穷级数 52
5.1 复数级数 52
5.2 函数级数·外氏(Weierstrass)定理 56
5.3 幂级数·阿贝耳(Abel)第一定理 61
5.4 幂级数所代表的函数的解析性 65
5.5 阿贝耳第二定理 67
第六章 泰勒展开和洛浪展开 71
6.1 解析函数的泰勒(Taylor)展开 71
6.2 多值函数的泰勒展开 76
6.3 在无穷远点领域内的泰勒展开 78
6.4 洛浪(Laurent)展开 79
6.5 洛浪展开的例子 83
第七章 单值函数的孤立寄点 87
7.1 孤立奇点的分类 87
7.2 可去奇点 88
7.3 极点 89
7.4 本性奇点 91
7.5 无穷远点 92
第八章 残数理论及其应用 94
8.1 残数定理 94
8.2 计算残数的公式 96
8.3 应用残数理论计算定积分 98
8.4 无穷积分 100
8.5 含三角函数的无穷积分·约当(Jordan)引理 102
8.6 实轴上有奇点的情形·积分主值 106
8.7 多值函数的积分 108
8.8 其他例子 111
8.9 关于零点和极点的个数的定理 118
第九章 含参数的积分·Γ函数和B函数 120
9.1 解析开拓的一个例子 120
9.2 解析开拓 121
9.3 含参数的定积分所表示的函数的解析性 122
9.4 Γ函数(第二类欧勒积分) 125
9.5 Γ函数的围道积分表示 132
9.6 Γ函数的渐近表示·斯特令(Stirling)公式 134
9.7 B函数(第一类欧勒积分) 136
第十章 拉普拉斯变换 139
10.1 拉氏变换 139
10.2 拉氏变换的基本性质 141
10.3 拉氏换式的运算性质及其在解线性常微分方程初值问题中的应用 142
10.4 像函数的导数和积分的反演 146
10.5 折积定理 149
10.6 傅里叶(Fourier)积分 151
10.7 拉氏变换的普遍反演公式 155
10.8 应用残数理论求反演 156
10.9 δ函数 160
10.10 δ函数的傅氏换式和拉氏换式 163
第十一章 线性常微分方程的级数解法和积分解法 166
11.1 二阶线性常微分方程的奇点 166
11.2 方程常点领域内的解 166
11.3 方程奇点领域内的解·正则解和正则奇点 169
11.4 求正则解的例子·贝塞耳(Bessel)方程 176
11.5 非正则奇点领域内的正则解 184
11.6 常规解和次常规解 186
11.7 积分解法·拉普拉斯(Laplace)型方程 190
11.8 勒让德方程的积分解·欧勒变换 194
第二部分 数学物理方程 198
第十二章 方程的导出和定解问题 198
12.1 方程的来源 198
12.2 杆的纵振动和弦的横振动 199
12.3 热传导方程 202
12.4 电报方程(传输线方程) 205
12.5 边界条件和初值条件 207
12.6 定解问题 212
第十三章 分离变数法 213
13.1 弦的自由振动 213
13.2 解的诠释 218
13.3 两端固定的弦的强迫振动 221
13.4 非齐次边界条件·第一边值问题 223
第十四章 正交曲面坐标系中方程的变数分离 226
14.1 坐标系的选择 226
14.2 正交曲坐标系中的梯度、散度、旋度和拉氏算符 226
14.3 球坐标系和柱坐标系中方程？2u+λu=0的变数分离 232
14.4 圆内的狄里希累(Dirichlet)问题 235
第十五章 常微分方程的本征值问题 240
15.1 二阶线性常微分方程的本征值问题 240
15.2 斯特姆-刘维(Sturm-Liouville)型方程的本征值问题 246
15.3 用正交函数组展开 250
第十六章 特殊函数及其应用(一)·勒让德函数 253
16.1 勒让德方程的本征值问题·有界条件 勒让德多项式 253
16.2 勒让德多项式的微分表示--罗巨格(Rodrigues)公式 258
16.3 Pι(x)的正交性和归一因子 258
16.4 Pι(x)的完备性 262
16.5 应用举例--均匀电场中的导体球 264
16.6 Pι(x)的生成函数 268
16.7 应用举例 270
16.8 Pι(x)的递推关系 276
16.9 连带勒让德函数 278
16.10 P？(x)的正交归一关系 280
16.11 P？(x)(m>0) 281
16.12 P？(x)的递推关系 282
16.13 加法公式 283
16.14 公式表 285
第十七章 特殊函数及其应用(二)·贝塞耳函数 289
17.1 贝塞耳(Bessel)函数Jn(x) 289
17.2 Jn(x)的振荡特性·Jn(x)的零点 290
17.3 贝塞耳函数的递推关系 293
17.4 Jn(x)的生成函数和积分表达式 294
17.5 加法公式 296
17.6 贝塞耳方程的本征值问题 297
17.7 应用举例--圆柱体的冷却 300
17.8 第二类贝塞耳函数Yv(x) 303
17.9 应用举例--空心圆柱体的径向振动 307
17.10 最陡下降法 308
17.11 贝塞耳函数的渐近表达式 312
17.12 第三类贝塞耳函数H？(x),H?(x)·柱函数 313
17.13 应用举例--电磁波在金属圆柱表面上的散射 315
17.14 半奇数阶贝塞耳函数 317
17.15 球贝塞耳函数jι(x),nι(x),h?(x),h?(x) 318
17.16 eikrcosθ用勒让德多项式展开 320
17.17 变型(或虚宗量)贝塞耳函数 321
17.18 应用举例--有限长圆柱全内的稳定温度场 324
17.19 可化为贝塞耳方程的微分方程 327
17.20 含贝塞耳函数的积分 327
17.21 公式表 329
第十八章 格临函数 336
18.1 引言 336
18.2 拉氏算符的格临函数 336
18.3 格临函数的对称性 342
18.4 广义格临函数 343
18.5 无区域的格临函数·基本解 347
18.6 用正交函数组展开求格临函数 350
18.7 用电像法求格临函数 355
18.8 初值问题的格临函数·波动方程的推迟解·无初值问题 358
第十九章 积分变换的应用 366
19.1 应用拉氏变换于热传导问题 366
19.2 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理 371
19.3 汉克耳(Hankel)变换 373
第二十章 保角变换原理及其应用 377
20.1 拉氏算符的变换 377
20.2 解析函数的几何性质 380
20.3 几种最简单的保角变换·线性变换 382
20.4 分式线性变换 384
20.5 分式线性变换下圆的特性·反演点对 385
20.6 应用举例 388
20.7 变换ζ=zn 391
20.8 变换ζ=lnz 393
20.9 多边形的变换(席伐尔兹变换) 394
20.10 特殊情形下求A和ζi的公式 398
20.11 应用举例--平行板边缘的电场 401
20.12 把多边形外部变为上半平面的变换 404
20.13 应用举例--儒可夫斯基变换 405
第二十一章 二阶线性偏微分方程分类 408
21.1 二阶线性偏微分方程分类·两个自变数的情形 408
21.2 多个自变数的情形 412
21.3 定解问题·一维波动方程的达朗伯解 415
21.4 热传导方程和泊松方程的解的唯一性 418
第二十二章 波动方程的几个特殊解法 422
22.1 平均值方法·泊松公式 422
22.2 柱面波·降维法 426
22.3 里曼方法 428
22.4 例 432
第二十三章 变分法及其应用 434
23.1 泛函和泛函的极值问题 434
23.2 泛函极值的必要条件·欧勒方程 436
23.3 几个自变数的情形·重积分所表示的泛函的极值问题 439
23.4 泛函的条件极值问题 441
23.5 测地线问题 444
23.6 泛函的变分·泛函的导数 446
23.7 变端点问题·自然边界条件 448
23.8 应用于本征值问题 449
23.9 高阶本征值和本征函数 452
23.10 应用于边值问题 455
23.11 里兹(Ritz)方法 457
23.12 应用举例--圆形薄膜横振动的本征频率 459
索引 463
外国人名对照索引 467
符号索引 468