第一章 定解问题的引出 1
第一节 变分问题 1
1.单重积分情形 1
2.多重积分情形 5
3.变分原理 8
习题 10
第二节 波动方程和位势方程 10
1.均匀弦的横振动 10
2.均匀膜的横振动 12
3.膜的平衡方程 14
习题 15
第三节 扩散方程和Schr?dinger方程 16
1.扩散方程 16
2.Schr?dinger方程 17
习题 18
第四节 适定性概念 18
1.定解问题小结 18
2.定解问题的适定性概念 20
注释与文献 21
第二章 常用解法 23
第一节 位势方程的边值问题 23
1.视察法 23
2.复变数函数法 27
习题 31
第二节 波动方程的初值问题 32
1.弦振动方程情形 32
2.波的传播 34
3.高维波动方程情形 36
4.Huygens原理 41
习题 43
第三节 有界弦的振动 43
1.分离变量法 43
2.解的物理意义 49
3.均匀弦的受迫振动 50
4.边界条件的齐次化 51
习题 54
第四节 分离变量法的进一步应用 54
1.热传导方程的混合问题 54
2.矩形膜的横振动 57
3.圆膜的横振动 59
4.Schr?dinger方程 61
习题 63
第五节 热传导方程的初值问题 64
1.Fourier变换 64
2.初值问题及解的验证 68
习题 71
注释与文献 72
第三章 分类和适定性讨论 73
第一节 方程的分类和化简 73
1.二阶方程的分类 73
2.二维情形的化简 76
习题 82
第二节 波动方程和能量积分 83
1.混合问题情形 83
2.初值问题情形 86
习题 89
第三节 调和方程和极值原理 90
1.Green公式 90
2.极值原理 92
3.唯一性和稳定性 95
习题 100
第四节 热传导方程和极值原理 100
1.极值原理 100
2.初值问题情形 103
习题 105
第五节 典型方程总结 106
1.数学物理方程的特点 106
2.典型方程的共性 107
3.典型方程的个性 108
4.适定性问题讨论 110
习题 113
注释与文献 114
第四章 广函与基本解 116
第一节 广函的基本运算 116
1.δ函数与广函的定义 116
2.广函的基本运算 119
第二节 广函的Fourier变换 122
1.试验函数的Fourier变换 122
2.广函的Fourier变换 125
习题 128
第三节 基本解 129
1.方程和初值问题情形 129
2.第一边值问题情形 131
习题 135
第四节 基本解的存在问题 136
1.常系数情形 136
2.变系数情形 138
习题 142
注释与文献 142
第五章 变系数方程 145
第一节 椭圆型方程 145
1.广义Green公式 145
2.边值问题和Green函数 147
习题 149
第二节 双曲型方程 149
1.Goursat问题 149
2.广义初值问题 152
习题 156
第三节 抛物型方程 156
1.唯一性问题 156
2.广义Green公式 158
习题 160
注释与文献 160
第六章 非线性方程 161
第一节 拟线性双曲组 161
1.运动波 161
2.双曲组 163
3.间断初值问题 167
4.混合问题 172
习题 173
第二节 孤波 174
1.KdV方程 174
2.孤波间的相互作用 177
3.立方Schr?dinger方程 178
习题 179
注释与文献 180
第七章 数值方法 181
第一节 有限差分法 181
1.调和方程的第一内边值问题 181
2.混合问题情形 185
第二节 有限元素法 187
1.Dirichlet原理 187
2.计算格式 189
习题 194
注释与文献 195