第五章 矢量代数与空间解析几何 1
第一节 空间直角坐标系与矢量 1
1.1 直角坐标系 1
1.2 矢量的加法与数乘 3
第二节 矢量的乘积 8
2.1 矢量的内积 8
2.2 矢量的外积 10
2.3 矢量的混合积 13
第三节 平面与直线 16
3.1 平面方程 16
3.2 直线方程 20
第四节 二次曲面 23
4.1 柱面 24
4.2 旋转曲面 26
4.3 锥面 27
4.4 椭球面 29
4.5 双曲抛物面 30
4.6 单叶双曲面 31
4.7 双叶双曲面 31
4.8 椭圆抛物面 32
第五节 坐标变换 33
5.1 坐标系的平移 34
5.2 坐标系的旋转 35
第六章 重积分与偏微商 39
第一节 重积分 39
1.1 多变量函数的极限与连续性 39
1.2 重积分的概念 42
1.3 重积分的计算 46
第二节 偏微商 57
2.1 偏微商与全微分 57
2.2 隐函数的微商 65
第三节 雅可比(Jacobi)行列式，面积元素与体积元素 80
3.1 雅可比行列式的性质 80
3.2 面积元素与体积元素 82
第七章 线、面积分与外微分形式 101
第一节 数量场与矢量场 101
1.1 数量场的等值面与梯度 101
1.2 矢量场的流线 105
第二节 曲线积分 110
2.1 第一种曲线积分(关于弧长的曲线积分) 110
2.2 第一种曲线积分的应用(旋转曲面的面积) 114
2.3 第二种曲线积分(关于弧长元素投影的积分) 115
2.4 第二种曲线积分的计算方法 119
2.5 两种曲线积分的关系 121
2.6 矢量场的环流量，矢量的曲线积分 122
第三节 曲面积分 127
3.1 第一种曲面积分(关于面积元素的曲面积分) 127
3.2 矢量场的通量，第二种曲面积分(关于面积元素投影的积分) 129
3.3 第二种曲面积分的计算方法 132
第四节 Stokes公式 139
4.1 Green 公式 139
4.2 Gauss 公式，散度 142
4.3 Stokes 公式，旋度 148
第五节 全微分与线积分 158
5.1 与途径无关的曲线积分 158
5.2 有势场 162
5.3 管型场 164
第六节 外微分形式 168
6.1 外乘积，外微分形式 168
6.2 外微分运算，Poincaré引理及其逆 175
6.3 梯度、旋度与散度的数学意义 181
6.4 多变量微积分的基本定理(Stokes公式) 184
第八章 多变量微积分的一些应用 188
第一节 Taylor(泰勒)展开与极值问题 188
1.1 多变量函数的Taylor展开 188
1.2 多变量函数的极值问题 189
1.3 条件极值问题 194
第二节 物理上的应用举例 198
2.1 重心、转动惯量与引力 198
2.2 流体动力学的完全方程组 205
2.3 声的传播 208
2.4 热的传导 209