第一章 引论 1
1 数值计算方法的内容与意义 1
1.1 计算机与算法 1
前言页 1
1.2 本书的内容和线索 3
1.3 意义与学习方法 5
2 微积分若干知识的回顾 6
2.1 一些基本概念与记号 6
2.2 若干基本定理 10
3 误差 13
3.1 例子与几种误差 13
3.2 基本概念 16
3.3 算术运算和函数求值的误差界 22
3.4 关于误差分析的方法 27
4.1 浮点机器数系及运算的舍入误差 30
4 稳定性与收敛性 30
4.2 算法的数值稳定性 37
4.3 收敛性与收敛速度 46
5 赋范线性空间与内积空间 50
5.1 线性空间 50
5.2 范数与赋范线性空间 53
5.3 内积与内积空间 56
5.4 正交序列与正交多项式 60
习题 67
第二章 函数的插值与逼近 73
1 问题的提法 73
1.1 函数插值与逼近的一般问题 73
1.2 代数插值 76
1.3 曲线拟合 78
1.4 最佳逼近 81
2.1 基函数 83
2 Lagrange插值 83
2.2 Lagrange插值多项式 85
2.3 余项 87
3 迭代插值 92
3.1 问题的提出 92
3.2 Neville法 92
3.3 Aitken法 96
3.4 运算次数 97
4 Newton插值 98
4.1 基函数 98
4.2 均差与差分 99
4.3 Newton均差插值 104
4.4 Newton差分插值 107
5 Hermite插值 110
5.1 带导数插值问题的一般描述 110
5.2 基函数与插值多项式 111
5.3 余项 113
5.4 带导数插值的其它例子 114
6 分段多项式插值 117
6.1 高次插值的问题 117
6.2 分段线性插值 120
6.3 分段三次Hermite插值 123
7 三次样条插值 126
7.1 三次样条插值问题的提法 126
7.2 插值函数的建立 129
7.3 误差界与收敛性 134
8 反插值 135
8.1 插值与反插值 135
8.2 利用函数的插值多项式反插 136
8.3 构造反函数的插值多项式 138
9 离散点的最小二乘曲线拟合 139
9.1 问题提法及拟合模型 139
9.2 线性模型的正规方程 141
9.3 基于正交基的线性模型 146
9.4 非线性模型举例 149
10 连续函数的最佳平方逼近 154
10.1 问题提法及正规方程 154
10.2 利用多项式作平方逼近 157
10.3 利用正交函数组作平方逼近 159
评注 161
习题 163
第三章 数值积分方法 173
1 梯形公式与Simpson公式 175
1.1 梯形公式 175
1.2 Simpson公式 176
1.3 代数精确度的概念 179
2 等距节点积分公式 181
2.1 闭型Newton-cotes积分公式 181
2.2 开型Newton-cotes积分公式 183
2.3 Newton-cotes公式的数值稳定性 185
3 复合的数值积分公式 186
3.1 引言 186
3.2 复合梯形公式 186
3.3 复合Simpson公式 188
4 外推方法 190
4.1 复合公式节点加密计算 190
4.2 外推方法 192
4.3 Romberg算法 195
4.4 外推算法的进一步讨论 198
5 Gauss求积方法 201
5.1 Gauss型求积公式 201
5.2 Gauss型求积公式的例子 207
5.3 Gauss型求积公式的其它性质 211
5.4 预先规定某些节点的Gauss型求积公式 212
6.1 自适应计算问题 214
6 自适应求积方法 214
6.2 自适应Simpson算法 215
7 奇异积分和振荡函数积分的计算 218
7.1 奇异积分计算 218
7.2 振荡函数积分的计算 223
评注 227
附录A 求积公式误差的Peano估计 229
习题 231
第四章 常微分方程的数值方法 236
1 基本概念和准备知识 236
1.1 常微分方程的初值问题 236
1.2 初值问题数值解的基本概念 239
1.3 常系数线性差分方程 240
2 Euler方法 242
2.1 显式Euler方法 242
2.2 隐式Euler方法和梯形方法 245
2.3 改进的Euler方法 247
2.4 单步法的局部截断误差和阶 248
3 Runge-Kutta方法 250
3.1 Runge-Kutta方法的一般形式 250
3.2 二、三、四阶的Runge-Kutta方法 253
3.3 其它Runge-Kutta方法 260
4 单步法的进一步讨论 261
4.1 收敛性 261
4.2 相容性 264
4.3 稳定性 266
4.4 变步长和误差控制方法 270
5 线性多步法 274
5.1 线性多步法的一般问题 274
5.2 线性多步法的例子 279
5.3 预测-校正方法 286
6.1 收敛性和稳定性 290
6 线性多步法的进一步讨论 290
6.2 外推方法 294
7 一阶方程组的数值方法 296
7.1 数值方法推广到方程组 296
7.2 刚性方程组介绍 297
评注 299
习题 300
第五章 数值代数的准备知识 303
1 矩阵及矩阵的运算 303
1.1 矩阵的概念 303
1.2 矩阵的线性运算与乘法 306
1.3 方阵的行列式及线性方程组的解 308
1.5 矩阵的分块 311
1.4 方阵的逆 311
2 几种特殊类型的矩阵 314
2.1 对称矩阵与正定矩阵 314
2.2 正交矩阵 316
2.3 Hermile矩阵与酉矩阵 318
2.4 对角占优矩阵 320
3 矩阵变换 321
3.1 初等变换 321
3.2 相似变换 324
3.3 正交换与酉变换 325
4 特征值与特征向量 326
4.1 基本概念 326
4.2 若干基本性质 328
4.3 Jordan标准形 334
5.1 矩阵范数的定义 336
5 矩阵的范数 336
5.2 常用的矩阵范数 337
5.3 范数的几个性质 342
5.4 向量与矩阵的极限 344
习题 347
第六章 线性代数方程组的解法 353
1 Gauss消去法 354
1.1 方法的描述 354
1.2 使用的条件及运算次数 358
1.3 矩阵的三角分解 360
1.4 行列式与逆矩阵的计算 362
2 主元素Gauss消去法 364
2.1 主元素及其选取问题 364
2.2 全主元素消去法 365
2.3 列主元素消去法 370
3 Gauss-Jordan消去法 374
3.1 无回代的消去法 374
3.2 列主元Gauss-Jordan消去法 376
3.3 Gauss-Jordan法求逆矩阵 378
4 直接三角分解法 381
4.1 线性递推计算与LU分解 381
4.2 Doolittle分解法 382
4.3 列主元三角分解法 385
4.4 Cholesky分解法(平方根法) 388
4.5 改进的平方根法 392
4.6 追赶法 394
5 直接法的误差分析 397
5.1 解的误差估计 397
5.3 舍入误差界 403
6 迭代法的基本理论及Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 406
6.1 迭代法的简单形式和基本方法 406
6.2 迭代法收敛性分析 409
6.3 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性 414
7 超松弛迭代法和块迭代方法 415
7.1 超松弛迭代法 415
7.2 块迭代方法 419
7.3 一个模型问题 421
8 共轭斜量方法 423
8.1 与方程组等价的极值问题，最速下降法 423
8.2 共轭斜量法 426
评注 430
第七章 矩阵特征值问题计算方法 442
1 特征值问题的性质及正交相似变换 442
1.1 特征值的范围 442
1.2 特征值的扰动 445
1.3 Householder变换 446
1.4 Givens变换 450
1.5 矩阵的QR分解 452
2.1 幂法 455
2 幂法求特征值 455
2.2 加速方法 457
2.3 收缩方法 458
2.4 反幂法 460
3 用正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式 462
3.1 矩阵的schur分解 462
3.2 化矩阵为Hessenberg形式 463
4 QR方法 468
4.1 QR计算方法 468
4.2 Hessenberg矩阵的QR方法 470
4.3 带有位移的QR方法 473
4.4 实际计算的QR方法 475
5 对称矩阵特征值问题 481
5.1 对称特征值问题的性质 481
5.2 Rayleigh商加速和Rayleigh商迭代 482
5.3 对称的QR方法 484
5.4 求对称三对角矩阵特征值的二分法 486
5.5 Jacobi方法 489
附录A 定理3.2的证明 496
附录B 定理3.3的证明 498
5.2 扰动方程组解的误差界 498
评注 499
习题 500
第八章 非线性方程的数值解法 504
1 二分法 505
1.1 二分算法 505
1.2 线性插值方法 507
2 迭代法的算法和理论 508
2.1 不动点迭代法 508
2.2 不动点迭代法的一般理论 510
2.3 局部收敛性，收敛阶 514
3 Newton迭代法 517
3.1 Newton法计算公式 517
3.2 Newton法的几何意义 518
3.3 重根情形 519
3.4 Newton法的应用举例 521
4 割线法和Muller方法 523
4.1 割线法的计算公式 523
4.2 割线法的收敛性 524
4.3 Muller方法 527
5 迭代的加速方法 528
5.1 Aitken加速方法 528
5.2 Steffensen迭代方法 530
6 代数方程和非线性方程组求根方法 532
6.1 代数方程的求根 532
6.2 非线性方程组 536
附录A Newton法与割线法计算量的比较 541
评注 543
习题 544
参考书目 547